Question

Cho tam giác ABC, gọi BI là trung tuyến. Trên AC lấy M, qua M kẻ đường thẳng song song với BI, cắt B lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng MP+MQ=2BI

Answer 1

Sửa đề: cắt BA,BC lần lượt tại P và Q

Xét ΔABI có PM//BI

nên \(\dfrac{PM}{BI}=\dfrac{AM}{AI}\)

=>\(PM=BI\cdot\dfrac{AM}{AI}\)

Xét ΔMQC có BI//QM

nên \(\dfrac{BI}{QM}=\dfrac{CI}{CM}\)

=>\(QM=BI\cdot\dfrac{CM}{CI}\)

\(MP+MQ\)

\(=BI\cdot\left(\dfrac{CM}{CI}+\dfrac{AM}{AI}\right)\)

\(=BI\cdot\left(\dfrac{CI+IM}{CI}+\dfrac{AM}{CI}\right)\)

\(=BI\cdot\left(1+\dfrac{IM}{CI}+\dfrac{AM}{CI}\right)\)

\(=BI\cdot\left(1+\dfrac{IM+AM}{CI}\right)\)

\(=BI\left(1+\dfrac{AI}{CI}\right)=2BI\)