Question

Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AC ; K là điểm đối xứng với M qua I.

a) Chứng minh tứ giác AMCK là hình chữ nhật.

b) Tứ giác ABMK là hình gì ? vì sao

c) tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AMCK là hình vuông.

Answer 1

https://i.imgur.com/RcLh3gK.jpg

Answer 2

a) Xét tứ giác AMCK có:

AI = CI

IM = IK

⇒ Tứ giác AMCK là hình bình hành.(1)

Mặt khác: AM là đường trung tuyến.

⇒ AM cũng là đường cao.

⇒ \(\widehat{AMC}=90^0\) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ Tứ giác AMCK là hình chữ nhật.

b) Ta có: AK = MC (Hình chữ nhật AMCK)

Mà MC = BM (g.t)

⇒ AK = BM

Mặt khác: AK // MC (Hình chữ nhật AMCK)

⇒ AK // BM

Vậy: tứ giác ABMK là hình bình hành vì AK = BM và AK // BM.

c) Tứ giác AMCK là hình vuông.

⇒ AM = MC = KC = AK

⇒ △ABC vuông cân tại A.(Vì nếu góc A vuông thì đường trung tuyến AM sẽ bằng một nửa cạnh huyền BC và bằng MC)

Vậy: Để tứ giác AMCK là hình vuông thì △ABC là tam giác vuông cân tại A.