a) Ta có: ΔABC cân tại A(gt)
mà AK là đường cao ứng với cạnh đáy BC(gt)
nên AK là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(tính chất tam giác cân)
⇒K là trung điểm của BC
\(\Rightarrow BK=CK=\frac{BC}{2}=\frac{6cm}{2}=3cm\)
Áp dụng định lí pytago vào ΔABK vuông tại K, ta được:
\(AB^2=AK^2+BK^2\)
\(\Leftrightarrow AK^2=AB^2-BK^2=5^2-3^2=16\)
hay \(AK=\sqrt{16}=4cm\)
Vậy: AK=4cm
b)
Sửa đề: Chứng minh \(IA\cdot IK=IB\cdot IH\)
Xét ΔIAH vuông tại H và ΔIBK vuông tại K có
\(\widehat{AIH}=\widehat{BIK}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔIAH∼ΔIBK(g-g)
⇒\(\frac{IA}{IB}=\frac{IH}{IK}\)
hay \(IA\cdot IK=IB\cdot IH\)(đpcm)
c) Xét ΔBHC vuông tại H và ΔAKC vuông tại K có
\(\widehat{C}\) chung
Do đó: ΔBHC∼ΔAKC(g-g)
⇒\(\frac{BH}{AK}=\frac{HC}{KC}=\frac{BC}{AC}\)
⇒\(\frac{BH}{4}=\frac{HC}{3}=\frac{6}{5}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{BH}{4}=\frac{6}{5}\\\frac{HC}{3}=\frac{6}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\frac{4\cdot6}{5}=\frac{24}{5}=4.8cm\\HC=\frac{6\cdot3}{5}=\frac{18}{5}=3.6cm\end{matrix}\right.\)
Vậy: BH=4.8cm; HC=3.6cm
d) Ta có: \(\frac{CH}{CB}=\frac{3.6}{6}=\frac{3}{5}\)
\(\frac{CK}{CA}=\frac{3}{5}\)
Do đó: \(\frac{CH}{CB}=\frac{CK}{CA}\)\(\left(=\frac{3}{5}\right)\)
Xét ΔHCK và ΔBCA có
\(\frac{CH}{CB}=\frac{CK}{CA}\)(cmt)
\(\widehat{C}\) chung
Do đó: ΔHCK∼ΔBCA(c-g-c)