Question

Cho phương trình : \(x^2-mx+m-1=0\)

a) CMR : PT luôn có 2 nghiệm với mọi m

b) Tính giá trị P =\(\frac{2x_1.x_2+3}{x^2_1+x^2_2+2\left(x_1.x_2+1\right)}\)theo m

c) Tìm GTLN , GTNN của P.

Answer 1

\(\Delta=m^2-4m+4=\left(m-2\right)^2\ge0\Rightarrow\) pt luôn có nghiệm

Theo Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)

\(P=\frac{2x_1x_2+3}{x_1^2+2x_1x_2+x_2^2+2}=\frac{2x_1x_2+3}{\left(x_1+x_2\right)^2+2}=\frac{2\left(m-1\right)+3}{m^2+2}=\frac{2m+1}{m^2+2}\)

c/

\(P=\frac{2m+1}{m^2+2}\Leftrightarrow Pm^2+2P=2m+1\)

\(\Leftrightarrow Pm^2-2m+2P-1=0\) (1)

Do pt có nghiệm với mọi m nên (1) phải có nghiệm m với tham số P

\(\Rightarrow\Delta'=1-P\left(2P-1\right)\ge0\Leftrightarrow-2P^2+P+1\ge0\)

\(\Rightarrow-\frac{1}{2}\le P\le1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}P_{mim}=-\frac{1}{2}\\P_{max}=1\end{matrix}\right.\)