Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
\(\dfrac{1}{2}x^2=x-m+3\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}x^2-x+m-3=0\)
\(\Delta=\left(-1\right)^2-4\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\left(m-3\right)\)
\(=1-2\left(m-3\right)\)
\(=1-2m+6\)
=-2m+7
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta>0\)
\(\Leftrightarrow-2m+7>0\)
\(\Leftrightarrow-2m>-7\)
hay \(m< \dfrac{7}{2}\)
Áp dụng hệ thức Vi-et, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-\left(-1\right)}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m-3}{\dfrac{1}{2}}=2m-6\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_2=3x_1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x_1=2\\x_2=3x_1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{1}{2}\\x_2=3\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(x_1x_2=2m-6\)
\(\Leftrightarrow2m-6=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow2m=\dfrac{27}{4}\)
hay \(m=\dfrac{27}{8}\)(loại)