Lời giải:
PT hoành độ giao điểm:
$2x^2-4x-m=0(*)$
Để $(P)$ cắt $(d)$ tại 2 điểm phân biệt $A,B$ thì PT $(*)$ phải có 2 nghiệm phân biệt $x_A,x_B$
Điều này xảy ra khi $\Delta'=4+2m>0\Leftrightarrow m>-2$
Áp dụng định lý Viet: \(\left\{\begin{matrix} x_A+x_B=2\\ x_Ax_B=\frac{-m}{2}\end{matrix}\right.(*)\)
$M$ thuộc trục tung và $(d)$ nên $M$ có tọa độ $(0; m)$
Ta có:
$MA=3MB$
$\Leftrightarrow MA^2=9MB^2$
$\Leftrightarrow (0-x_A)^2+(m-y_A)^2=9[(0-x_B)^2+(m-y_B)^2]$
$\Leftrightarrow x_A^2+(m-4x_A-m)^2=9[x_B^2+(m-4x_B-m)^2]$
$\Leftrightarrow 17x_A^2=9.17x_B^2$
$\Leftrightarrow x_A^2=9x_B^2\Leftrightarrow x_A=\pm 3x_B$
Với $x_A=3x_B$, thay vào $(*)$ thì: \(\left\{\begin{matrix} 4x_B=2\\ 3x_B^2=\frac{-m}{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow m=\frac{-3}{2}\)
Với $x_A=-3x_B$, thay vào $(*)$ thì \(\left\{\begin{matrix} -2x_B=2\\ -3x_B^2=\frac{-m}{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow m=6\)
Từ đây suy ra $m_{\max}=6$