Cho đường tròn (O) và điểm A ở ngoài đường tròn đó. Vẽ cát tuyến ABC không đi qua O (B nằm giữa A và C). AD và AE là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) (D, E là hai tiếp điểm và E thuộc cung nhỏ BC). Đường kính MN vuông góc với BC tại H (N thuộc cung nhỏ BC). Tia DO cắt đường tròn (O) tại Q (Q khác D). AM cắt đường tròn (O) tại F (F khác M). Gọi P là giao điểm của AO và DE; I là giao điềm của AC và DE.
0) Tứ giác ADOH nội tiếp được đường tròn.
1) ECQ= DAO.
2) AD^2= AF.AM
3) Ba điểm F, I, N thẳng hàng.
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp. Các đường phân giác của góc ngoài tại B và C cắt đường phân giác trong của góc A tại O' . Gọi S là trung điểm của OO'
Tính SC. Biết CO' = 4cm
CO = 3cm
Cho đường tròn tâm O bán kính R, từ A ở ngoài đường tròn ta kẻ 2 tiếp tuyến AP và AQ(P,Q là 2 tiếp điểm).Kẻ dây QB //AP, AB cắt đường tròn tại C.
a) CM : APOQ nội tiếp ,tam giác PQB cân ,AP2=AB*AC
b) QC cắt AP tại I.CM : IA=IP
Cho tam giác ABC với BC=a,CA=b,AB=c(c<a,c<b).Goi O la truc tam cua tam giac M và N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ O đến cạnh AC và cạnh BC.Đoạn thẳng MN cắt tia AO tại P và cắt tỉa BỘ tại Q .Gọi E,F lần lượt là trung điểm của ABva AC
a,C/m \(\dfrac{MP}{a}=\dfrac{NQ}{b}=\dfrac{PQ}{c}\)
b,C/m Q,Ế,F thẳng hàng
Bài 1:
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 7x2+13y2=1820.
b) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tổng tất cả các ước nguyên tố của p4 là một số chính
phương.
Bài 2:
a) Cho S=a2+b2+c2+d2+ac+bd, trong đó ad – bc = 1
1. Chứng minh S ≥ √3
2. Tính giá trị của tổng (a+c)2+(b+d)2, khi biết S = √3.
b) Giải hệ phương trình với các ẩn x, y, z sau đây:
xyay+bx=yzbz+cy=zxcx+az=x2+y2+z2a2+b2+c2 (trong đó a, b, c là các số cho trước).
Bài 3: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c thỏa mãn a > b > c, và O là điểm bất kì nằm trong tam giác đó. Các đướng thẳng AO, BO, CO thứ tự cắt các cạnh của tam giác tại P, Q, R.
Chứng minh rằng OP + OQ + OR < a.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở C và có Aˆ<Bˆ. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Cho biết tam giác BIO là một tam giác vuông. Tìm tỉ số giữa các cạnh của tam giác ABC.
Từ 1 điểm T nằm ngoài đường tròn (O;R) kể 2 tiếp tuyến TA và TB với đường tròn đó ,biết AOB=120°; BC=2R
a) chứng minh OT//AC
b) biết OT cắt đường tròn (O;R) tại D
Chứng minh tứ giác AOBD là hình thoi
c)tính diện tích hình giới hạn nửa đường tròn,đường kính BC và ba dây cung OA,AD,DB theo R
cho điểm A nằm trên đường tròn (O,\(\dfrac{CB}{2}\)); AB<AC. vẽ dây ADvuông góc BC tại H.a) c/m tam giác ABC vuông A
b) c/m : H là trung điểm AD và AC=CD và BC là tia phân giác góc ABD
c) c/m góc ABC= gócADC
Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A . Trên cạnh BC lấy điểm D, kẻ DN
vuông góc với AC và DM vuông góc AB . Kẻ đường cao AH của tam giác ABC .
a. Tứ giác AMDN là hình gì ? Vì sao?
b. Tìm vị trí điểm D trên cạnh BC thì MN có độ dài nhỏ nhất ? vẽ hình đúng
với vị trí của điểm D đó?
c. Tính số đo góc MHN ?
Câu 2:
a) Tìm các giá trị x ; y nguyên dương sao cho 9xy +3x +3y =51
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức N = x2 + 5y2 - 4xy + 6x - 14y + 15
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại A và B . Vẽ cát tuyến CAD vuông góc với AB . Tia CB cắt (O’) tại E, tia BD cắt (O) tại F. Chứng minh rằng:
a) .
b) AB là tia phân giác của .
c) CA.CD = CB.CE
d) CD2 = CB.CE + BD.DF.
