Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuôg góc với AB. Gọi M là điểm bất kỳ thuộc nưat đường tròn đã cho. Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt Ax và By lần lượt tại D và E. Cmr:
a. DE=AD+BE và DOE=90°
b. AD.BE có giá trị không đổi khi M thay đổi trên nửa đường tròn tâm O
c. AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE
Lời giải:
a) \(Ax,By\perp AB\) mà $AB$ là đường kính nên \(\Rightarrow Ax\perp OA; By\perp OB\)
Tức là $Ax,By$ là tiếp tuyến của $(O)$
Ta thấy $DA, DM$ đều là tiếp tuyến của $(O)$. Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm \(\Rightarrow DA=DM(1)\)
Tương tự: $EM, EB$ là tiếp tuyến của $(O)$ cắt nhau tại điểm $E$ nên \(EB=EM(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow DM+EM=DA+EB\Rightarrow DE=DA+BE\) (đpcm)
Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm:
\(OD\) là phân giác \(\widehat{AOM}\)
\(OE\) là phân giác \(\widehat{EOM}\)
Mà \(\widehat{AOM}; \widehat{EOM}\) là 2 góc kề bù nên \(OD\perp OE\Rightarrow \widehat{DOE}=90^0\)
b)
Theo kết quả phần a:
\(\left\{\begin{matrix} AD=DM\\ BE=EM\end{matrix}\right.\Rightarrow AD.BE=DM.EM(1)\)
Vì $DE$ là tiếp tuyến của $(O)$ có tiếp điểm $M$ nên \(OM\perp DE\)
Xét tam giác vuông $DOE$ (đã cm tại phần a) có đường cao $OM$ nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
\(DM.EM=OM^2=R^2(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow AD.BE=R^2\) không đổi khi $M$ thay đổi trên nửa đường tròn tâm $O$
c) Gọi $K$ là trung điểm của $DE$. Đường tròn đường kính $DE$ chính là đường tròn $(K)$
Do $DOE$ là tam giác vuông tại $O$ nên đường trung tuyến \(OK=\frac{DE}{2}=DK=EK\)
Vậy $(K)$ đi qua điểm $O$
Mặt khác xét hình thang $DABE$ (\(DA\parallel BE\) ) có $O$ là trung điểm của $AB$, $K$ là trung điểm $DE$ nên $OK$ là đường trung bình của hình thang
\(\Rightarrow OK\parallel AD\). Mà \(AD\perp AB\Rightarrow OK\perp AB\)
Như vậy, $AB$ vuông góc với bán kính $OK$ của đường tròn $(K)$ tại tiếp điểm $O$ nên $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn đó (đpcm)