Cho nửa đường tròn ( O;R ) đường kính BC . Lấy điểm A trên tia dối của tia CB . Kẻ tiếp tuyết AF của nửa đtròn (O) ( F là tiếp điểm ) , tia AF cắt tiếp tuyến Bx của nửa đtròn tại D , Biết AF = \(\dfrac{4R}{3}\)
a. Chứng minh tứ giác OBDF nội tiếp
b. Tính cos góc DAB
c. Kẻ OM vuông góc với BC ( M thuộc AD ) . Chứng minh \(\dfrac{BD}{DM}\) - \(\dfrac{DM}{AM}\) = 1
Lời giải:
a)
Vì $AF$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên \(AF\perp OF\) hay \(DA\perp OF\Rightarrow \widehat{DFO}=90^0\)
$DB$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên \(DB\perp OB\Rightarrow \widehat{DBO}=90^0\)
Tứ giác $DBOF$ có tổng hai góc đối nhau
\(\widehat{DFO}+\widehat{DBO}=90^0+90^0=180^0\) nên là tứ giác nội tiếp.
b)
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác $OFA$ vuông tại $F$:
\(OA=\sqrt{OF^2+FA^2}=\sqrt{R^2+(\frac{4}{3}R)^2}=\frac{5}{3}R\)
Ta có:
\(\cos \widehat{DAB}=\cos \widehat{OAF}=\frac{FA}{OA}=\frac{\frac{4}{3}R}{\frac{5}{3}R}=\frac{4}{5}\)
c) \(OM\perp BA, BD\perp BA\Rightarrow OM\parallel BD\)
Theo tính chất hai đường tiếp tuyến cắt nhau suy ra $DO$ là phân giác góc \(\widehat{BDF}\)
\(\Rightarrow \widehat{BDO}=\widehat{ODM}\)
Mà \(OM\parallel BD\Rightarrow \widehat{MOD}=\widehat{ODB}\) (so le trong)
Suy ra \(\widehat{ODM}=\widehat{MOD}\Rightarrow \triangle MDO\) cân tại $M$
\(\Rightarrow MD=MO\)
Áp dụng định lý Thales với \(MO\parallel DB\) ta có:
\(\frac{DA}{MA}=\frac{DB}{MO}=\frac{DB}{DM}\)
\(\Leftrightarrow \frac{DM+MA}{MA}=\frac{DB}{DM}\Rightarrow \frac{BD}{DM}-\frac{DM}{AM}=1\) (đpcm)