Với mỗi số nguyên dương \(n\), đặt \(s_{n} = (2 - \sqrt{3})^n + (2 + \sqrt{3})^n\)
a) Chứng minh rằng: \(s_{n+2} = 4s_{n+1} - s_{n}\)
b) Chứng minh rằng sn là số nguyên với mọi số nguyên dương n và tìm số dư của s2018 khi chia cho 3.
c) Chứng minh rằng \([(2 + \sqrt{3})^n] = s_{n} - 1\) với mọi số nguyên dương \(n\), trong đó kí hiệu [x] là phần nguyên của số thực \(x\).
cho a,b,c là các số hữu tỉ dương thỏa mãn
\(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}=\sqrt{a+b-c}\)
CMR \(\sqrt[2014]{a}+\sqrt[2014]{b}+\sqrt[2014]{c}=\sqrt[2014]{a+b-c}\)
Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn \(a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-c^2}+c\sqrt{1-a^2}=\dfrac{3}{2}\)
CMR: \(a^2+b^2+c^2=\dfrac{3}{2}\)
Cho x,y là các số dương thỏa mãn x + y \(\le\)3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = \(\dfrac{2}{3xy}+\sqrt[]{\dfrac{3}{y+1}}\)
Cho m, n, p là các số dương thỏa mãn \(mn+np+pm=1\) . Rút gọn biểu thức
\(B=m\sqrt{\dfrac{\left(n^2+1\right)\left(p^2+1\right)}{m^2+1}}+n\sqrt{\dfrac{\left(p^2+1\right)\left(m^2+1\right)}{n^2+1}}+p\sqrt{\dfrac{\left(m^2+1\right)\left(n^2+1\right)}{p^2+1}}\)
cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=xyz
tìm giá trị lớn nhất của biểu thức p=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\:+\frac{1}{\sqrt{\gamma ^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{z^2+1}}
CMR không tồn tại số n thỏa mãn: \(n^3+2006n=2008^{2007}+1\)
Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca=1
Chứng minh rằng: \(\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\le\frac{3}{2}.\)
(Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy)
Bài 1: Cho 3 số a, b ,c dương thoả mãn. CMR:
1<\(\dfrac{a} {a+b} \)+\(\dfrac{b} {b+c} + \dfrac{c} {c+a} \)<2
