a)
Ta có \( D \) là trung điểm của \( MN \) và \( E \) là điểm sao cho \( D \) là trung điểm của \( KE \). Vậy \( E \) đối xứng với \( K \) qua \( D \).
Do \( D \) là trung điểm của \( KE \), ta có:
\[
KD = DE = 6 \, \text{cm}
\]
Vì \( D \) là trung điểm của \( MN \), nên \( KD \) là đường trung bình của tam giác \( KMN \), do đó:
\[
KD = \frac{1}{2}MN
\]
Suy ra:
\[
MN = 2 \times KD = 2 \times 6 = 12 \, \text{cm}
\]
b)
Ta có \( D \) là trung điểm của \( MN \) và cũng là trung điểm của \( KE \), nên \( EMKN \) là tứ giác có hai đường chéo \( EK \) và \( MN \) cắt nhau tại trung điểm của chúng. Theo tính chất, \( EMKN \) là một hình bình hành.
c)
Xét tứ giác \( MPKE \):
- Tam giác \( MNP \) vuông tại \( M \) nên \( \angle NMP = 90^\circ \).
- \( MK \) là đường cao của tam giác vuông \( MNP \), do đó \( \angle MKP = 90^\circ \).
- Vì \( D \) là trung điểm của \( KE \) và \( D \) là trung điểm của \( MN \), nên \( E \) đối xứng với \( K \) qua \( D \). Điều này suy ra rằng \( \angle EKP = 90^\circ \).
Tứ giác \( MPKE \) có hai góc vuông \( \angle MKP = 90^\circ \) và \( \angle EKP = 90^\circ \), nên nó là một hình chữ nhật.