Question

Cho \(\left(x+\sqrt{x^2+2}\right)\left(y-1+\sqrt{y^2-2y+3}\right)=2\)

CM. x³ + y³ + 3xy = 1

Answer 1

Lời giải:

\((x+\sqrt{x^2+2})(y-1+\sqrt{y^2-2y+3})=2(*)\)

Nhân 2 vế của $(*)$ với $x-\sqrt{x^2+2}$ thu được:

\([x^2-(x^2+2)](y-1+\sqrt{y^2-2y+3})=2(x-\sqrt{x^2+2})\)

\(\Leftrightarrow y-1+\sqrt{y^2-2y+3}=\sqrt{x^2+2}-x\)

\(\Leftrightarrow x+y-1=\sqrt{x^2+2}-\sqrt{y^2-2y+3}(1)\)

Nhân 2 vế của $(*)$ với $y-1-\sqrt{y^2-2y+3}$ thu được:

\((x+\sqrt{x^2+2})[(y-1)^2-(y^2-2y+3)]=2(y-1-\sqrt{y^2-2y+3})\)

\(\Leftrightarrow x+\sqrt{x^2+2}=\sqrt{y^2-2y+3}-(y-1)\)

\(\Leftrightarrow x+y-1=\sqrt{y^2-2y+3}-\sqrt{x^2+2}(2)\)

Lấy \((1)+(2)\Rightarrow 2(x+y-1)=0\Rightarrow x+y-1=0\)

\(\Rightarrow x+y=1\)

Khi đó:

\(x^3+y^3+3xy=(x+y)^3-3xy(x+y)+3xy\)

\(=1^3-3xy.1+3xy=1\) (đpcm)