Question

cho htc ABCD, AB // CD, AB < CD, gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. O là giao điểm AC và BD. cm

a) góc OAD = góc OBC, góc ODA = góc OCD

b) OA = OB; OD = OC

c) M,N là trung trực của AB, CD

Answer 1

a: Xét ΔADC và ΔBCD có

AD=BC

AC=BD

DC chung

Do đó: ΔADC=ΔBCD

=>\(\widehat{DAC}=\widehat{CBD}\)

=>\(\widehat{OAD}=\widehat{OBC}\) 

Xét ΔBAD và ΔABC có

AB chung

AD=BC

BD=AC

Do đó: ΔBAD=ΔABC

=>\(\widehat{ADB}=\widehat{BCA}\)

=>\(\widehat{ODA}=\widehat{OCB}\)

b: Ta có: ΔBAD=ΔABC

=>\(\widehat{OBA}=\widehat{OAB}\)

=>OA=OB

Ta có: OA+OC=AC

OB+OD=BD

mà OA=OB và AC=BD

nên OC=OD

c: Ta có: OC=OD

=>O nằm trên đường trung trực của CD(1)

Ta có: NC=ND

=>N nằm trên đường trung trực của CD(2)

Xét ΔMAD và ΔMBC có

MA=MB

\(\widehat{MAD}=\widehat{MBC}\)
AD=BC

Do đó: ΔMAD=ΔMBC

=>MC=MD

=>M nằm trên đường trung trực của CD(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra M,O,N thẳng hàng

=>MN là đường trung trực của CD
Xét ΔADN và ΔBCN có

AD=BC

\(\widehat{ADN}=\widehat{BCN}\)

DN=CN

Do đó: ΔADN=ΔBCN

=>NA=NB

=>N nằm trên đường trung trực của AB(4)

Ta có: MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB(5)

Từ (4),(5) suy ra MN là đường trung trực của AB