Question

Cho hình thang ABCD (AD//BC, AD > BC) có đường chéo AC vuông góc với cạnh bên CD, AC là tia phân giác góc BAC và góc D bằng 60 độ.
a) Chứng minh: ABCD là hình thang cân.
b) Tính độ dài cạnh đáy AD biết chu vi hình thang bằng 20cm

Answer 1

a: ΔCAD vuông tại C

=>\(\widehat{CAD}+\widehat{CDA}=90^0\)

=>\(\widehat{CAD}=90^0-60^0=30^0\)

AC là phân giác của góc BAD

=>\(\widehat{BAD}=2\cdot\widehat{CAD}=60^0\)
Xét hình thang ABCD có \(\widehat{BAD}=\widehat{CDA}\left(=60^0\right)\)

nên ABCD là hình thang cân

b: Ta có: \(\widehat{BCA}=\widehat{CAD}\)(hai góc so le trong, BC//AD)

mà \(\widehat{CAD}=30^0\)

nên \(\widehat{BCA}=30^0\)

=>\(\widehat{BAC}=\widehat{BCA}\)

=>BA=BC

mà BC=CD

nên BA=BC=CD

Xét ΔCAD vuông tại C có \(sinCAD=\dfrac{CD}{AD}\)

=>\(\dfrac{CD}{AD}=sin30=\dfrac{1}{2}\)

=>AD=2CD

Ta có: \(C_{ABCD}=20\)(cm)

=>AB+BC+CD+DA=20

=>2CD+CD+CD+CD=20

=>5CD=20

=>CD=4(cm)