a) Xét \(\Delta AHB\) có:
\(M\) là trung điểm của \(BH\left(gt\right)\)
\(N\) là trung điểm của \(AH\left(gt\right)\)
=> \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta AHB.\)
=> \(MN\) // \(AB\) (tính chất đường trung bình của tam giác).
=> Tứ giác \(ABMN\) là hình thang (định nghĩa hình thang).
b) Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật (gt).
=> \(AB\perp BC\) (định nghĩa hình chữ nhật).
Mà \(MN\) // \(AB\left(cmt\right)\)
=> \(MN\perp BC.\)
=> \(MN\) là đường cao của \(\Delta BNC\) (1).
Vì \(BH\perp AC\left(gt\right)\)
=> \(BH\perp CN.\)
=> \(BH\) là đường cao của \(\Delta BNC\) (2).
Mà \(BH\) đi qua M (3).
=> Từ (1), (2) và (3) => M là giao điểm của 2 đường cao \(BH\) và \(MN.\)
=> \(M\) là trực tâm của \(\Delta BNC.\)
=> \(CM\perp BN\) (vì \(CM\) đi qua M).
c) Vì \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta AHB\left(cmt\right).\)
=> \(MN=\frac{1}{2}AB\) (tính chất đường trung bình của tam giác).
Mà \(AB=CD\) (vì \(ABCD\) là hình chữ nhật).
=> \(MN=\frac{1}{2}CD.\)
Vì I là trung điểm của \(CD\left(gt\right)\)
=> \(CI=\frac{1}{2}CD\) (tính chất trung điểm).
Mà \(MN=\frac{1}{2}CD\left(cmt\right)\)
=> \(MN=CI\) (4).
Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật (gt).
=> \(AB\) // \(CD\) (tính chất hình chữ nhật).
Mà \(MN\) // \(AB\left(cmt\right)\)
=> \(MN\) // \(CD.\)
Hay \(MN\) // \(CI\) (5).
Từ (4) và (5) => Tứ giác \(NMCI\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).
=> \(NI\) // \(CM\) (định nghĩa hình bình hành).
Mà \(CM\perp BN\left(cmt\right)\)
=> \(NI\perp BN.\)
=> \(\widehat{BNI}=90^0.\)
Chúc bạn học tốt!
Làm tiếp bài Tuấn
d. \(AC^2=AB^2+BC^2=4BC^2+BC^2=5BC^2\rightarrow AC=BC\sqrt{5}\)
\(HB.AC=AB.BC=2BC.BC=2BC^2\)
\(\rightarrow BH=\frac{2BC^2}{AC}=\frac{2BC}{\sqrt{5}}\)
\(\rightarrow BH+AC=\frac{2BC}{\sqrt{5}}+BC\sqrt{5}>3BC\)