Question

cho hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=3-m\\2x+y=3\left(m+2\right)\end{matrix}\right.\)

khi hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x,y) tìm m để

a) x>0 và y<0

b) biểu thức A = x^2 + y^2 đạt GTNN

Answer 1

a: Vì \(\dfrac{1}{2}\ne-\dfrac{2}{1}\)

nên hệ luôn có nghiệm duy nhất

\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=3-m\\2x+y=3\left(m+2\right)\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=3-m\\4x+2y=6\left(m+2\right)=6m+12\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}5x=3-m+6m+12=5m+15\\x-2y=3-m\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=m+3\\2y=x-3+m=m+3-3+m=2m\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=m+3\\y=m\end{matrix}\right.\)

Để x>0 và y<0 thì \(\left\{{}\begin{matrix}m+3>0\\m< 0\end{matrix}\right.\)

=>-3<m<0

b: \(A=x^2+y^2=\left(m+3\right)^2+m^2\)

\(=2m^2+6m+9\)

\(=2\left(m^2+3m+\dfrac{9}{2}\right)\)

\(=2\left(m^2+3m+\dfrac{9}{4}+\dfrac{9}{4}\right)\)

\(=2\left(m+\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{9}{2}>=\dfrac{9}{2}\forall m\)

Dấu '=' xảy ra khi \(m+\dfrac{3}{2}=0\)

=>\(m=-\dfrac{3}{2}\)