\(y'=1+\frac{1}{\left(x+2\right)^2}\)
Gọi \(A\left(a;0\right)\) là điểm bất kì thuộc trục hoành, phương trình tiếp tuyến qua A có dạng: \(y=k\left(x-a\right)\)
Ta có hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x^2+x-3}{x+2}=k\left(x-a\right)\\1+\frac{1}{\left(x+2\right)^2}=k\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\frac{x^2+x-3}{x+2}=\left(1+\frac{1}{\left(x+2\right)^2}\right)\left(x-a\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x^2+x-3\right)=\left(x^2+4x+5\right)\left(x-a\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(1-a\right)x^2+2\left(3-2a\right)x+6-5a=0\) (1)
Để từ A có duy nhất 1 tiếp tuyến đến (C) thì (1) có đúng (1) nghiệm
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\\Delta'=\left(3-2a\right)^2-\left(1-a\right)\left(6-5a\right)=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow-a^2-a+3=0\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\\a=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\end{matrix}\right.\)
Có 3 điểm A thỏa mãn