Question

Tìm trên trục hoành các điểm có thể kẻ đến đồ thị hàm số \(y=\frac{x^2}{x-1}\) hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc \(45^0\)

Answer 1

Tập xác định : \(D=R\backslash\left\{1\right\}\)

\(M\in Ox\Rightarrow M\left(x_0;0\right)\) đường thẳng qua M với hệ số góc k có phương trình \(y=k\left(x-x_0\right)\)    \(\left(\Delta\right)\)

 \(\left(\Delta\right)\) là tiếp tuyến của đồ thì khi hệ \(\begin{cases}\frac{x^2}{x-1}=k\left(x-x_0\right)\\\frac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}=k\end{cases}\) có nghiệm

\(\Rightarrow\frac{x^2}{x-1}=\frac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}\left(x-x_0\right)\Leftrightarrow x\left[\left(x_0+1\right)x-2x_0\right]=0\)

\(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=0\\x=\frac{2x_0}{x_0+1}\end{array}\right.\) với \(x_0\ne-1\)

* Với \(x_0=0\Rightarrow k=0\)

* Với \(x_0=\frac{2x_0}{x_0+1}\Rightarrow k=\frac{-4x_0}{\left(x_0+1\right)^2}\)* Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì :\(\tan45^0=\left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\right|\Rightarrow\frac{4x_0}{\left(x_0+1\right)^2}=\pm1\)\(\Rightarrow x_0=3\pm2\sqrt{2}\)\(\Rightarrow M_1\left(3+2\sqrt{2};0\right);M_2\left(3-2\sqrt{2};0\right)\)