Question

Cho hàm số y = 2x³ + 3ax² + b có đồ thị (C). Gọi A, B lần lượt là 2 điểm phân biệt thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A, B có cùng hệ số góc bằng 6. Biết khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng AB bằng 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2a² + (a+b)² bằng

Answer 1

Ý tưởng thế này: tọa độ A, B thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}6x^2+6ax=6\\y=2x^3+3ax^2+b\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=1-ax\\y=2x^3+3ax^2+b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow y=2x\left(1-ax\right)+3a\left(1-ax\right)+b\)

\(\Rightarrow y=-2ax^2+2x-3a^2x+3a+b\)

\(\Rightarrow y=-2a\left(1-ax\right)+2x-3a^2x+3a+b\)

\(\Rightarrow y=\left(2-a^2\right)x+a+b\)

\(\Rightarrow\left(2-a^2\right)x-y+a+b=0\)

Đây chính là pt AB theo a;b

Từ khoảng cách \(\Rightarrow\dfrac{\left|a+b\right|}{\sqrt{\left(2-a^2\right)^2+1}}=1\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=\left(2-a^2\right)^2+1\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=a^4-4a^2+5\)

\(\Leftrightarrow2a^2+\left(a+b\right)^2=a^4-2a^2+5=\left(a^2-1\right)^2+4\ge4\)