Gọi điểm cố định mà ĐTHS đi qua là \(M\left(x_0;y_0\right)\)
\(\Leftrightarrow y_0=\left(1-3m\right)x_0+m\) \(\forall m\)
\(\Leftrightarrow\left(3x_0-1\right)m+y_0-x_0=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x_0-1=0\\y_0-x_0=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x_0=y_0=\frac{1}{3}\) \(\Rightarrow M\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)\)
b/ Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O xuống (d)
Theo định lý về đường xiên - đường vuông góc ta có \(OH\le OM\Rightarrow OH_{max}=OM\) khi H trùng M hay \(\left(d\right)\perp OM\)
Đường thẳng OM có hệ số góc \(k=\frac{y_M-y_O}{x_M-x_O}=1\)
\(\Rightarrow\left(1-3m\right).1=-1\Rightarrow1-3m=-1\Rightarrow m=\frac{2}{3}\)