Question

Cho hai đường tròn (O;R)và (O'R') tiếp xúc ngoài tại A .vẽ tiếp tuyến chung MN.M thuộc đường tròn (O) và N thuộc đường tròn (O') tiếp tuyến chung tại A cắt MN tại I
chứng minh
a) Góc MAN=90^o;Góc OIO'=90^o
b)MN=2\(\sqrt{R.R'}\)

Answer 1

a)

Gọi giao của AM và OI là H, giao của O'I và AN là K

Ta có: IO là phân giác \(\widehat{MIA}\) ( tính chất tiếp tuyến)

IO' là phân giác \(\widehat{NIA}\) ( tính chất tiếp tuyến)

Do đó suy ra \(\widehat{OIO'}\) =90^o (2 tia phân giác của hai góc kề bù vuông góc với nhau)

Ta có: \(OA=OM=R\)

\(\Rightarrow\) O thuộc đường trung trực của AM ⁽¹⁾

Ta có: \(IA=IM\) ( tính chất tiếp tuyến)

\(\Rightarrow\) I thuộc đường trung trực của AM ⁽²⁾

⁽¹⁾⁽²⁾\(\Rightarrow\) OI là trung trực của AM

\(\Rightarrow\)\(\widehat{IHA}\) \(=90^o\)

Chứng minh tương tự: O'I là trung trực của AN

\(\Rightarrow\) \(\widehat{IKA}\) \(=90^o\)

Do đó AHIK là hình chữ nhật

\(\Rightarrow\) \(\widehat{MAN}\)\(=90^o\)

b)

Giả sử R>R'

Từ O'kẻ đường thẳng song song với MN cắt OM tại D

\(\Rightarrow\) \(OD\)//\(MN\)

\(\Rightarrow\)\(\widehat{O'DM} \)\(=90^o\)

Mà \(\widehat{OMN}\)=90^o, \(\widehat{O'NM}\) =90^o

^{\(\Rightarrow MNO'D\) là hình chữ nhật}

^{\(\Rightarrow MN=O'D,MD=NO'=R',OD=OM-MD=R-R'\)}

^{Vì \(\widehat{O'DM}\)} =90

\(\Rightarrow\) \(\Delta ODO'\) là tam giác vuông

\(\Rightarrow DO^2=OO'^2-OD^2\)( định lý pythagor)

\(\Rightarrow DO^2=\left(R+R'\right)^2-\left(R-R'\right)^2=4RR'\)

\(\Rightarrow DO=2\sqrt{RR'}\)

\(\Rightarrow MN=2\sqrt{R.R'}\left(đpcm\right)\)