Cho hai điểm I(0;5) và M(3;1)
1 Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I và đi qua M
2 Tìm phương trình tiếp tuyến với (C) kẻ từ A(5;-2)
3 Định M để đường thẳng d : y= x + m và đường tròn (C) có giao điểm
4 Chứng minh rằng N(5;5) Thuộc đường tròn . Tìm điểm P trên (C) sao cho tam giác MNP vuông tại M
\(\overrightarrow{IM}=\left(3;-4\right)\Rightarrow IM=\sqrt{3^2+\left(-4\right)^2}=5\)
a/ Phương trình đường tròn:
\(x^2+\left(y-5\right)^2=25\)
b/ Gọi tiếp tuyến d qua A có dạng:
\(a\left(x-5\right)+b\left(y+2\right)=0\Leftrightarrow ax+by-5a+2b=0\) (\(a^2+b^2\ne0\))
Để d tiếp xúc (C): \(\Leftrightarrow d\left(I;d\right)=R\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left|7b-5a\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=5\Leftrightarrow\left(7b-5a\right)^2=25\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow49b^2-70ab+25a^2=25a^2+25b^2\)
\(\Leftrightarrow12b^2-35ab=0\Leftrightarrow b\left(12b-35a\right)=0\)
Chọn \(\left[{}\begin{matrix}\left(a;b\right)=\left(1;0\right)\\\left(a;b\right)=\left(12;35\right)\end{matrix}\right.\)
Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}1\left(x-5\right)+0\left(y+2\right)=0\\12\left(x-5\right)+25\left(y+2\right)=0\end{matrix}\right.\)
c/ \(y=x+m\Leftrightarrow x-y+m=0\)
Để d và (C) có giao điểm
\(\Leftrightarrow d\left(I;d\right)\le R\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left|m-5\right|}{\sqrt{2}}\le5\)
\(\Leftrightarrow\left|m-5\right|\le5\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow5-5\sqrt{2}\le m\le5+5\sqrt{2}\)
d/ Thay tọa độ N vào đường tròn thỏa mãn
\(\Rightarrow\) N thuộc đường tròn
Do M;N;P cùng thuộc đường tròn \(\Rightarrow\widehat{NMP}\) là góc nội tiếp
Mà \(\widehat{M}=90^0\Rightarrow NP\) là đường kính
\(\Leftrightarrow I\) là trung điểm NP
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_P=2x_I-x_N=-5\\y_P=2y_I-y_N=5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow P\left(-5;5\right)\)
