Question

cho đường tròn tâm O bán kính R 2 tiếp tuyến tại A và B của đường tròn cắt nhau tại điểm M đoạn thẳng OM cắt đường tròn (O) tại điểm I , cắt AB tại điểm K a)chứng minh 4 điểm M,A,O,B cùng thuộc đường tròn b)chứng minh OM.OK=R^2 và điểm I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB

Answer 1

a: Xét tứ giác MAOB có \(\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^0+90^0=180^0\)

nên MAOB là tứ giác nội tiếp

=>M,A,O,B cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1) và (2) suy ra MO là đường trung trực của AB

=>MO\(\perp\)AB tại K

Xét ΔOAM vuông tại A có AK là đường cao

nên \(OK\cdot OM=OA^2=R^2\)

Ta có: \(\widehat{MAI}+\widehat{OAI}=\widehat{MAO}=90^0\)

\(\widehat{KAI}+\widehat{OIA}=90^0\)(ΔAKI vuông tại K)

mà \(\widehat{OAI}=\widehat{OIA}\)

nên \(\widehat{MAI}=\widehat{KAI}\)

=>AI là phân giác của góc MAB

Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MO là phân giác của góc AMB

=>MK là phân giác của góc AMB

Xét ΔMAB có

MK,AI là các đường phân giác

MK cắt AI tại I

Do đó: I là tâm đường tròn nội tiếp ΔMAB