Cho đường tròn (O;R) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn (O) (C khác A, B). Kẻ CH ⊥ AB tại H.
a) Cm: ∆ABC vuông và CH² = AC × BC × sin A × cos A
b) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt tia BC ở D. Gọi I là trung điểm AD. C/m IC là tiếp tuyến của (O).
c) Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt IC ở K. Cm IA × BK = R²
d) Xác định vị trí của điểm C trên đường tròn (O) để diện tích tứ giác ABKI nhỏ nhất.
a: Xét (O) có
ΔABC nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔABC vuông tại C
Xét ΔCHA vuông tại H có \(sinA=\dfrac{CH}{CA}\)
=>\(CH=CA\cdot sinA\)
Xét ΔCHB vuông tại H có \(sinB=\dfrac{CH}{CB}\)
=>\(CH=CB\cdot sinB\)
=>\(CH=CB\cdot cosA\)
\(CA\cdot CB\cdot sinA\cdot cosA\)
\(=CH\cdot CH=CH^2\)
b: ΔACD vuông tại C
mà CI là đường trung tuyến
nên IA=IC=ID
Xét ΔIAO và ΔICO có
IA=IC
AO=CO
IO chung
Do đó: ΔIAO=ΔICO
=>\(\widehat{ICO}=\widehat{IAO}=90^0\)
=>IC là tiếp tuyến của (O)
c: ΔIAO=ΔICO
=>\(\widehat{AOI}=\widehat{COI}\)
=>\(\widehat{AOC}=2\cdot\widehat{IOC}\)
Xét (O) có
KB,KC là tiếp tuyến
Do đó: KB=KC và OK là phân giác của góc COB
=>\(\widehat{COB}=2\cdot\widehat{COK}\)
\(\widehat{AOC}+\widehat{COB}=180^0\)(hai góc kề bù)
=>\(2\cdot\widehat{IOC}+2\cdot\widehat{COK}=180^0\)
=>\(\widehat{IOC}+\widehat{COK}=90^0\)
=>\(\widehat{IOK}=90^0\)
Xét ΔIOK vuông tại O có OC là đường cao
nên \(CI\cdot CK=OC^2\)
=>\(AI\cdot BK=R^2\)