Cho đường tròn (O) đường kính BC. Trên tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) lấy điểm S. Vẽ dây cung BA vuông góc với SO tại H.
1) Chứng minh: HA = HB, SA = SB.
2) Chứng minh SA là tiếp tuyến của đường tròn (O).
3) Nối SC cắt (O) tại D. Chứng minh: BD.SC = AB.SO.
4) Gọi T là điểm đối xứng của H qua A. Chứng minh: ST vuông góc CT.
1) Xét ΔOBA có OB=OA(=R)
nên ΔOBA cân tại O(Định nghĩa tam giác cân)
mà OH là đường cao ứng với cạnh AB(OS⊥AB, H∈OS)
nên OH là đường trung tuyến ứng với cạnh AB(Định lí tam giác cân)
⇔H là trung điểm của AB
hay HA=HB(đpcm)
Xét ΔSAB có
SH là đường cao ứng với cạnh AB(SO⊥AB tại H)
SH là đường trung tuyến ứng với cạnh AB(H là trung điểm của AB)
Do đó: ΔSAB cân tại S(Định lí tam giác cân)
⇒SA=SB(đpcm)
2) Xét ΔSBO và ΔSAO có
SB=SA(cmt)
SO chung
BO=AO(=R)
Do đó: ΔSBO=ΔSAO(c-c-c)
⇒\(\widehat{SBO}=\widehat{SAO}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{SBO}=90^0\)(SB⊥OB tại B)
nên \(\widehat{SAO}=90^0\)
hay SA⊥OA
Xét (O) có
A∈(O)
SA⊥OA tại A(cmt)
Do đó: SA là tiếp tuyến của (O)(Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn)
3) Xét (O) có
BC là đường kính
nên O là trung điểm của BC
⇒\(BC=2\cdot BO\)
Xét ΔSBO vuông tại B có BH⊥SO(BA⊥SO tại H)
nên \(SB\cdot BO=BH\cdot SO\)
\(\Leftrightarrow2\cdot SB\cdot BO=2\cdot BH\cdot SO\)
\(\Leftrightarrow BC\cdot BS=2\cdot BH\cdot SO\)(1)
Ta có: AC⊥AB(ΔABC vuông tại A)
OH⊥AB(OS⊥AB tại H)
Do đó: OH//AC(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)
Xét ΔBAC có
O là trung điểm của BC(cmt)
OH//AC(cmt)
Do đó: H là trung điểm của AB(Định lí 1 đường trung bình của tam giác)
⇒\(AB=2\cdot BH\)(2)
Thay (2) vào (1), ta được: \(BC\cdot BS=AB\cdot SO\)(3)
Xét (O) có
ΔDBC nội tiếp đường tròn(D,B,C∈(O))
BC là đường kính
Do đó: ΔDBC vuông tại D(Định lí)
⇒BD⊥DC tại D
hay BD⊥SC
Xét ΔSBC vuông tại B có BD⊥SC(cmt)
nên \(BD\cdot SC=SB\cdot BC\)(4)
Từ (3) và (4) suy ra \(BD\cdot SC=AB\cdot SO\)(đpcm)