Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm H thuộc tia đối của tia BA. Đường thẳng d vuông góc với AB tại H. Điểm N thuộc đường thẳng d, qua N kẻ tiếp tuyến NE với (O) (E và B thuộc 2 nửa mặt phẳng bờ AN). AN cắt (O) tại C. Các đường thẳng AE và BE cắt đường thẳng d tại K và I
a) Chứng minh KECN là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh N là trung điểm IK
a, Xét đg tròn (O) có: AEB^ là góc nội tiếp chăn nửa đg tròn => AEBˆ=900
Xét ΔKIBΔKIB có: KE⊥BI tại E (AEB^=900)
BH⊥IK tại H (gt)
Mà KE cắt BH tại A => A là trực tâm của ΔKIB
=> IA⊥KB
b, Xét ΔKEIvà ΔBHI có:
BHIˆ=KEIˆ(=900)
Iˆ là góc chung
=> ΔKEI ~ ΔBHI(g.g)
=> NKEˆ=ABEˆ
Xét đg tròn (O) có: ABEˆ=ACEˆ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AE)
=> NKEˆ=ACEˆ
Xét tứ giác KCEN có: NKEˆ=ACEˆ(cmt)
=> KCEN là tgnt
c, Xét đg tròn (O), tiếp tuyến NE có: NEKˆ=ACEˆ(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AE)
Mà ACEˆ=NKEˆ(cmt)
=> NEKˆ=NKEˆ
=> ΔNEK cân tại N => NE=NK
Xét ΔKEIvuông tại E (KEIˆ=900) có:
NKEˆ+NIEˆ=900
Mà NEKˆ+NEIˆ=900
=> NIEˆ=NEIˆ
=> ΔNEI cân tại N => NE=NI
Mà NE=NK (cmt)
=> NI=NK. Mà N nằm giữa I và K
=> N là trung điểm của IK