Question

Cho \(\Delta ABC\) có BC = a, AC = B, AB = c. Các đường phân giác AD, BE, CF cắt nhau tại I. Chứng minh:

a. \(\dfrac{DI}{DA}=\dfrac{a}{a+b+c}\) b. \(\dfrac{DI}{DA}+\dfrac{EI}{EB}+\dfrac{EI}{FC}=1\)

Answer 1

Lời giải:

a)

Sử dụng công thức về tia phân giác ta có:

\(\frac{DI}{AI}=\frac{BD}{AB}\Rightarrow \frac{DI}{DA}=\frac{BD}{AB+BD}(1)\)

\(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{BD}{BC}=\frac{AB}{AB+AC}\Rightarrow BD=\frac{AB.BC}{AB+AC}(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{DI}{DA}=\frac{\frac{AB.BC}{AB+AC}}{AB+\frac{AB.BC}{AB+AC}}=\frac{AB.BC}{AB(AB+BC+AC)}=\frac{BC}{AB+BC+AC}=\frac{a}{a+b+c}\)

Ta có đpcm.

b)

Sử dụng kết quả phần a:

\(\frac{DI}{DA}=\frac{a}{a+b+c}\)

Bằng cách chứng minh hoàn toàn tương tự ta cũng có:

\(\frac{EI}{EB}=\frac{b}{a+b+c}; \frac{FI}{FC}=\frac{c}{a+b+c}\)

Do đó:

\(\frac{DI}{DA}+\frac{EI}{EB}+\frac{FI}{FC}=\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1\)

Ta có đpcm.

Answer 2

Hình vẽ: