Question

Cho ΔABC vuông tại A ( AB < AC ), đường cao AH. Từ H kẻ HM \(\perp\) AB và HN ⊥ AC ( M ∈ AB, N ∈ AC ). 

a) Gọi O là giao điểm của AH và MN. Trên CN lấy P sao cho NA = NP, HN cắt MP tại I. Gọi I là trung điểm của HC. CM: MN // HP và O, I, J thẳng hàng

b) Trên tia AJ lấy điểm E sao cho J là trung điểm của AE, MN cắt CE tại K. Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì để tam giác MKE là tam giác vuông cân

Giúp e với ạ, e cảm ơn!!

 

Answer 1

 

a; Xét tứ giác AMHN có \(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=\widehat{MAN}=90^0\)

nên AMHN là hình chữ nhật

=>HM//AN và HM=AN

HM//AN nên HM//NP

HM=AN

mà AN=NP

nên HM=NP

Xét tứ giác HMNP có

HM//NP

HM=NP

Do đó: HMNP là hình bình hành

=>HN cắt MP tại trung điểm của mỗi đường

=>I là trung điểm chung của HN và MP

Ta có: AMHN là hình chữ nhật

=>AH cắt MN tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AH và MN

Xét ΔMNP có

O,I lần lượt là trung điểm của MN,MP

=>OI là đường trung bình của ΔMNP

=>OI//NP

=>OI//AC

Xét hình thang HMNC có

O,J lần lượt là trung điểm của MN,HC

=>OJ là đường trung bình của hình thang HMNC

=>OJ//NC

=>OJ//AC

Ta có: OI//AC

OJ//AC

mà OI,OJ có điểm chung là O

nên O,I,J thẳng hàng