Question

Cho ΔABC vuông cân tại A. Gọi D là trung điểm của BC. Trên đoạn AD lấy điểm E bất kì ( E≠AvàD). Qua E kẻ các đường vuông góc với AB,AC lần lượt tại M,N

a, Cm AMEN là hình vuông

b, Cm MN//BC

c, Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với DN tại F. Cm góc AFE=90^o

d, Cm B,E,F thẳng hàng

Answer 1

a: ΔABC cân tại A

mà AD là đường trung tuyến

nên AD là phân giác của \(\widehat{BAC}\)

Xét tứ giác AMEN có \(\widehat{AME}=\widehat{ANE}=\widehat{MAN}=90^0\)

=>AMEN là hình chữ nhật

Xét hình chữ nhật AMEN có AE là phân giác của \(\widehat{MAN}\)

nên AMEN là hình vuông

b: AMEN là hình vuông

=>\(\widehat{AMN}=45^0\)

=>\(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\)

mà hai góc này ở vị trí đồng vị

nên MN//BC

c: AMEN là hình vuông

=>A,M,E,N cùng thuộc đường tròn tâm O, đường kính là AE và MN

=>O là trung điểm chung của AE và MN(2)

\(\widehat{MFN}=90^0\)

=>F nằm trên đường tròn đường kính MN

=>F nằm trên (O)

Xét (O) có

ΔAFE nội tiếp

AE là đường kính

Do đó: ΔAFE vuông tại F

=>\(\widehat{AFE}=90^0\)