Cho Δ ABC có trọng tâm G, H là điểm đối xứng của B qua G, M là trung điểm của BC. C/m:
a, \(\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\)
b, \(\overrightarrow{CH}=-\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)
c, \(\overrightarrow{MH}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}\)
\(\text{a) }\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}=\frac{1}{3}\left(3\overrightarrow{AG}+3\overrightarrow{BG}\right)\\ =\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BB}\right)\\ =\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}\right)=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)\\ =\frac{1}{3}\left(2\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\)
\(\text{b) }\overrightarrow{CH}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AH}=-\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\\ =-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=-\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\right)\)
\(\text{c) }\overrightarrow{MH}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CH}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}-\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\right)\\ =\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)-\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\right)\\ =-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\\ =\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}\)