Theo đề bài ta có:\(x+y+z=2016\)
\(\Rightarrow2016-z=x+y\ge2+9=11\)
\(\Rightarrow z\le2016-11=2005\)
Ta lại có: \(x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{\left(2016-z\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow xyz\le\frac{\left(2016-z\right)^2}{4}.z=\frac{z^3}{4}-1008z^2+\frac{2016^2z}{4}\)(1)
Xét hàm số: \(f\left(z\right)=\frac{z^3}{4}-1008z^2+\frac{2016^2z}{4}\)
Ta chứng minh \(f\left(z\right)\) nghịch biến trên \(z\in\left[1951;2005\right]\)
Với mọi \(a,b\in\left[1951;2005\right]\)sao cho với \(a< b\) thì
\(f\left(a\right)-f\left(b\right)=\frac{a^3}{4}-1008a^2+\frac{2016^2}{4}a-\frac{b^3}{4}+1008b^2-\frac{2016^2}{4}b\)
\(=\frac{1}{4}\left(\left(a^3-b^3\right)+\left(-4032a^2+4032b^2\right)+\left(2016^2a-2016^2b\right)\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2-4032a-4032b+2016^2\right)\)
\(>\frac{a-b}{4}.\left(1951^2+1951.1951+1951^2-4032.2005-4032.2005+2016^2\right)\)
\(=\frac{a-b}{4}.\left(-684861\right)>0\)
\(\Rightarrow f\left(a\right)-f\left(b\right)>0\)
\(\Rightarrow\)Hàm số nghịch biến trên \(\left[1951;2005\right]\)
\(\Rightarrow\)Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại z nhỏ nhất
\(\Rightarrow Max\left(f\left(z\right)\right)=\frac{1951^3}{4}-1008.1951^2+\frac{2016^4}{4}.1951=2060743,75\)(2)
Từ (1) và (2) ta có: \(Max\left(xyz\right)=2060743,75\) tại \(\left\{\begin{matrix}x=y=32,5\\z=1951\end{matrix}\right.\)