1) Ta có : \(2x^2+y^2+3=\left(x^2+y^2\right)+\left(x^2+1\right)+2\)
Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có: \(x^2+y^2\ge2xy,x^2+1\ge2x\)
Nên :\(2x^2+y^2+3\ge2\left(xy+x+1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{2}{2x^2+y^2+3}\le\frac{2}{2\left(xy+x+1\right)}=\frac{1}{xy+x+1}\)
Chứng minh tương tự ta có :\(\frac{2}{2y^2+z^2+3}\le\frac{1}{yz+y+1}\)
\(\frac{2}{2z^2+x^2+3}\le\frac{1}{xz+z+1}\)
Do đó \(\frac{2}{2x^2+y^2+3}+\frac{2}{2y^2+z^2+3}+\frac{2}{2z^2+x^2+3}\le\frac{1}{xy+x+1}+\frac{1}{yz+y+1}+\frac{1}{xz+z+1}\)
Ta sẽ chứng minh:\(\frac{1}{xy+x+1}+\frac{1}{yz+y+1}+\frac{1}{xz+z+1}=1\)
Thật vậy:VT=\(\frac{xyz}{xy+x+xyz}+\frac{1}{yz+y+1}+\frac{y}{xyz+yz+y}\left(v\text{ì }xyz=1\right)\)
=\(\frac{yz}{yz+y+1}+\frac{1}{yz+y+1}+\frac{y}{yz+y+1}=\frac{yz+y+1}{yz+y+1}=1\)
Dó đó :\(\frac{2}{2x^2+y^2+3}+\frac{2}{2y^2+z^2+3}+\frac{2}{2z^2+x^2+3}\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi:x=y=z=1
câu 2:
HPT\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}6x+2xy=24\left(1\right)\\x^2+y^2+7y=20\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
cộng vế với vế 2 pt (1) và (2):
\(x^2+y^2+2xy+7x+7y=44\)\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+7\left(x+y\right)-44=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-4\right)\left(x+y+11\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}x+y=4\\x+y=-11\end{matrix}\right.\)
với x+y=4 <=> x=4-y.thế vào pt (1):3(4-y)+(4-y)y=12
\(\Leftrightarrow12-3y+4y-y^2=12\Leftrightarrow y^2-y=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}y=0\\y=1\end{matrix}\right.\)
y=0 => x=4
y=1=> x=3
tương tự với TH còn lại