a) Ta có: \(A=\left(\frac{\sqrt{x}+1}{x-2\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}-2}\right)\cdot\left(x-3\sqrt{x}+2\right)\)
\(=\left(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\right)\cdot\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)\)
\(=\frac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\cdot\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)\)
\(=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}\)
b) Để \(A< \frac{1}{2}\) thì \(A-\frac{1}{2}< 0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{2}< 0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(\sqrt{x}-1\right)}{2\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}< 0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{x}-2-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}< 0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}-2}{2\sqrt{x}}< 0\)
mà \(2\sqrt{x}>0\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ
nên \(\sqrt{x}-2< 0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}< 2\)
hay x<4
Kết hợp ĐKXĐ, ta được: 0<x<4
Vậy: Để \(A< \frac{1}{2}\) thì 0<x<4
c) Để A nguyên thì \(\sqrt{x}-1⋮\sqrt{x}\)
mà \(\sqrt{x}⋮\sqrt{x}\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ
nên \(-1⋮\sqrt{x}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\inƯ\left(-1\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\in\left\{1;-1\right\}\)
mà \(\sqrt{x}>0\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ
nên \(\sqrt{x}=1\)
hay x=1(nhận)
Vậy: Để A nguyên thì x=1
