Ta thấy : \(a+b+c=1\Rightarrow a,b,c< 1\)
Lại có : \(a+b+c=a^3+b^3+c^3\)
\(\Rightarrow a+b+c-a^3-b^3-c^3=0\)
\(\Rightarrow a.\left(1-a^2\right)+b.\left(1-b^2\right)+c.\left(1-c^2\right)=0\) (*)
Do : \(a,b,c< 1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-a^2>0\\1-b^2>0\\1-c^2>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a.\left(1-a^2\right)\ge0\\b.\left(1-b^2\right)\ge0\\c.\left(1-c^2\right)\ge0\end{matrix}\right.\) mà (*) nên ta có :\(\left\{{}\begin{matrix}a.\left(1-a^2\right)=0\\b.\left(1-b^2\right)=0\\c.\left(1-c^2\right)=0\end{matrix}\right.\)
Theo bài có \(a+b+c=a^3+b^3+c^3\)
nên : \(\left(a,b,c\right)\in\left\{\left(1,0,0\right),\left(0,1,0\right),\left(0,0,1\right)\right\}\)
Trong cả ba trường hợp trên thì \(M=1\)
Vậy : \(M=1\) với \(a,b,c\) thỏa mãn đề.