Copy paste lại bài hôm rồi, đỡ phải nghĩ:v
Ta chứng minh bổ đề sau: cho hai dãy số dương \(a\ge b\ge c\) và \(x\ge y\ge z\) thì \(ax+by+cz\ge bx+cy+az\)
Thật vậy, BĐT tương đương:
\(\left(a-b\right)x+\left(b-c\right)y-\left(a-c\right)z\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)x-\left(a-b\right)y+\left(a-c\right)y-\left(a-c\right)z\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(x-y\right)+\left(a-c\right)\left(y-z\right)\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng:
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge b\ge c\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^3\ge b^3\ge c^3\\\frac{1}{b^2+c^2}\ge\frac{1}{c^2+a^2}\ge\frac{1}{a^2+b^2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P=\frac{a^3}{b^2+c^2}+\frac{b^3}{c^2+a^2}+\frac{c^3}{a^2+b^2}\ge\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}+\frac{a^3}{a^2+b^2}\)
Ta có: \(\frac{a^3}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}\)
Thiết lập tương tự và cộng lại:
\(P\ge\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)