Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(1+4\right)\left(a^2+4b^2\right)\ge\left(a+4b\right)^2\)
\(\Rightarrow5\left(a^2+4b^2\right)\ge\left(a+4b\right)^2\)
\(\Rightarrow5\left(a^2+4b^2\right)\ge\left(a+4b\right)^2=1^2=1\)
\(\Rightarrow5\left(a^2+4b^2\right)\ge1\Rightarrow a^2+4b^2\ge\dfrac{1}{5}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{5}\)
cho a, b > 1. CMR \(\dfrac{a}{2a-1}+\dfrac{b}{2b-1}\ge\dfrac{4}{1+ab}\)
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Tìm: \(MinP=\dfrac{4a}{b+c-a}+\dfrac{4b}{c+a-b}+\dfrac{4c}{a+b-c}\)
cho a;b;c thoă mãn là 3 số dương và abc=1
CMR:\(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)
Cho hai số a và b thỏa mãn a\(\ge\)1 và b\(\ge\)1. Chứng minh\(\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2}\ge\dfrac{2}{1+ab}\)
Cho x+y= 1. CMR: \(x^2+2y^2\ge\dfrac{2}{3}\)
Không dùng các BĐT cơ bản
a) Cho a,b,c > 0 ; abc = 1 ; \(a+b+c\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
CMR : (a-1)(b-1)(c-1) \(\ge0\)
b) Trong 3 số a,b,c có 1 số lớn hơn 1 , 2 số còn lại nhỏ hơn 1
Bài 1: Cho a, b, c > 0. Chứng minh:
\(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\ge a+b+c\)
Bài 2:
a) Tìm GTLN của A = \(\dfrac{x^2}{x^4+x^2+1}\)
b) Tìm GTLN của B = xy biết 4x + 5y = 40
Bài 3: Cho a, b, c > 0. Chứng minh:
\(\dfrac{-a+b+c}{2a}+\dfrac{a-b+c}{2b}+\dfrac{a+b-c}{2c}\ge\dfrac{3}{2}\)
Bài 4: Cho m, n > 0. Chứng minh:
\(\dfrac{a^2}{m}+\dfrac{b^2}{n}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{m+n}\)
Cho a > b > c > 0 và a2 + b2 + c2 =1
Chứng minh rằng: \(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{1}{2}\)
1, Với mọi a,b,c tùy ý, chứng minh:
a2 + b2 + 1 \(\ge\) ab + a + b
2, Cho x + y + z = 1
Chứng minh: x2 + y2 + z2 \(\ge\dfrac{1}{3}\)
3, Cho 4x + y = 1
Chứng minh: 4x2 + y2 \(\ge\dfrac{1}{3}\)