Bài 5: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

1. Nhắc lại về giá trị tuyệt đối

Giá trị tuyệt đối của số \(a\), kí hiệu là \(\left|a\right|\), được định nghĩa là:

                \(\left|a\right|=a\) nếu \(a\ge0\);
                \(\left|a\right|=-a\) nếu \(a< 0\).

Ví dụ: +) \(\left|5\right|=5\)  ;  \(\left|0,5\right|=0,5\) ;  \(\left|\dfrac{7}{11}\right|=\dfrac{7}{11}\)  ; ...

          +) \(\left|-3\right|=3\)  ;  \(\left|-1,25\right|=1,25\)  ;  \(\left|-\dfrac{3}{4}\right|=\dfrac{3}{4}\)  ; ....

          +) \(\left|x^2\right|=x^2\) do \(x^2\ge0,\forall x\)

Theo định nghĩa trên, ta có thể bỏ dấu gia trị tuyệt đối tuỳ theo giá trị của biểu thức ở trong dấu giá trị tuyệt đối là âm hay không âm.

Ví dụ 1: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và thu gọn biểu thức: \(A=\left|x+3\right|+x-2\)

Giải:

Biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối là \(x+3\) chưa rõ âm hay không âm, do đó ta cần xét 2 trường hợp:

TH₁: \(x+3\ge0\Leftrightarrow x\ge-3\). Khi đó \(\left|x+3\right|=x+3\)

Nên \(A=x+3+x-2=2x+1\)

TH₂: \(x+3< 0\Leftrightarrow x< -3\). Khi đó \(\left|x+3\right|=-x-3\)

Nên \(A=-x-3+x-2=-5\)

Ví dụ 2: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và thu gọn biểu thức: \(B=4x+5+\left|-2x\right|\)

Giải: 

Ta xét 2 trường hợp:

TH₁: \(-2x\ge0\Leftrightarrow x\le0\).

Khi đó \(\left|-2x\right|=-2x\)

Nên \(B=4x+5-2x=2x+5\)

TH₂: \(-2x< 0\Leftrightarrow x>0\).

Khi đó: \(\left|-2x\right|=2x\)

Nên \(B=4x+5+2x=6x+5\).

Ví dụ 3: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và thu gọn biểu thức: \(C=-1+x-\left|\dfrac{x^2}{4}\right|\)

Giải: 

Ta có: \(x^2\ge0,\forall x\) nên \(\dfrac{x^2}{4}\ge0,\forall x\)

Suy ra \(\left|\dfrac{x^2}{4}\right|=\dfrac{x^2}{4}\)

Nên \(C=-1+x-\dfrac{x^2}{4}\)

           \(=-\left(1-x+\dfrac{x^2}{4}\right)\)  \(=-\left(1-\dfrac{x}{2}\right)^2\)

2. Giải một số phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Ví dụ 1: Giải phương trình \(\left|3x\right|=x+4\).

Giải:

Ta thấy: \(\left|3x\right|=3x\) \(\Leftrightarrow3x\ge0\Leftrightarrow x\ge0\)

             \(\left|3x\right|=-3x\Leftrightarrow3x< 0\Leftrightarrow x< 0\)

Vậy để giải phương trình đã cho ta quy về giải 2 phương trình tương ứng với 2 điều kiện của x như sau:

Trường hợp 1: Với \(x\ge0\), phương trình đã cho trở thành \(3x=x+4\)

Ta có: \(3x=x+4\) \(\Leftrightarrow2x=4\Leftrightarrow x=2\) (Thoả mãn điều kiện \(x\ge0\))

Nên \(x=2\) là một nghiệm của phương trình đã cho.

Trường hợp 2: Với \(x< 0\), phương trình đã cho trở thành \(-3x=x+4\)

Ta có: \(-3x=x+4\) \(\Leftrightarrow-4x=4\Leftrightarrow x=-1\) (thoả mãn điều kiện \(x< 0\))

Nên \(x=-1\) là một nghiệm của phương trình đã cho.

Vậy phương trình \(\left|3x\right|=x+4\) có tập nghiệm là \(S=\left\{-1;2\right\}\).

Ví dụ 2: Giải phương trình \(\left|x-3\right|=9-2x\).

Giải:

Ta thấy: \(\left|x-3\right|=x-3\Leftrightarrow x-3\ge0\Leftrightarrow x\ge3\)

             \(\left|x-3\right|=3-x\Leftrightarrow x-3< 0\Leftrightarrow x< 3\)

Do đó để giải phương trình đã cho ta quy về giải 2 phương trình tương ứng với 2 điều kiện của x như sau:

Trường hợp 1: Với \(x\ge3\), phương trình đã cho trở thành \(x-3=9-2x\)

Ta có: \(x-3=9-2x\) \(\Leftrightarrow x+2x=9+3\Leftrightarrow3x=12\Leftrightarrow x=4\) (thoả mãn ĐK \(x\ge3\))

Nên \(x=4\) là một nghiệm của phương trình đã cho.

Trường hợp 2: Với \(x< 3\), phương trình đã cho trở thành \(3-x=9-2x\)

Ta có: \(3-x=9-2x\) \(\Leftrightarrow2x-x=9-3\) \(\Leftrightarrow x=6\) (không thoả mãn ĐK \(x< 3\))

Nên \(x=6\) không có là nghiệm của phương trình đã cho.

Vậy tập nghiệm của phương trình \(\left|x-3\right|=9-2x\) là \(S=\left\{4\right\}\).

Ví dụ 3: Giải phương trình \(\left|2-x\right|=\left|2x+3\right|\)

Giải:

Để giải phương trình này, ta cần nhớ một tính chất đó là: \(\left|A\right|=\left|B\right|\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}A=B\\A=-B\end{matrix}\right.\)

Áp dụng: 

\(\left|2-x\right|=\left|2x+3\right|\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2-x=2x+3\left(1\right)\\2-x=-2x-3\left(2\right)\end{matrix}\right.\) 

(1) \(2-x=2x+3\Leftrightarrow3x=-1\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{3}\)

(2) \(2-x=-2x-3\Leftrightarrow x=-5\)

Vậy phương trình có tập nghiệm là \(S=\left\{-\dfrac{1}{3};-5\right\}\).

Ví dụ 4: Giải phương trình \(\left|x+1\right|-\left|x+2\right|=x+3\).

Giải:

Ta thấy: \(\left|x+1\right|=x+1\Leftrightarrow x+1\ge0\Leftrightarrow x\ge-1\)

              \(\left|x+1\right|=-x-1\Leftrightarrow x+1< 0\Leftrightarrow x< -1\)

              \(\left|x+2\right|=x+2\Leftrightarrow x+2\ge0\Leftrightarrow x\ge-2\)

              \(\left|x+2\right|=-x-2\Leftrightarrow x+2< 0\Leftrightarrow x< -2\)

Ta thấy trong phương trình trên có 2 biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối, do đó để trình bày ngắn gọn và trực quan, ta dùng bảng xét dấu như sau:

Do đó ta cần xét 3 trường hợp:

TH₁: Với \(x< -2\).

        Khi đó \(\left|x+1\right|=-x-1\) và \(\left|x+2\right|=-x-2\)

    Nên phương trình đã cho trở thành: \(\left(-x-1\right)-\left(-x-2\right)=x+3\)

   \(\Leftrightarrow-x-1+x+2=x+3\)

   \(\Leftrightarrow x=-2\) (Không thoả mãn \(x< -2\))

 Nên \(x=-2\) không là nghiệm của phương trình đã cho.

TH₂: Với \(-2\le x< -1\):

       Khi đó: \(\left|x+1\right|=-x-1\) và \(\left|x+2\right|=x+2\)

   Nên phương trình đã cho trở thành: \(\left(-x-1\right)-\left(x+2\right)=x+3\)

   \(\Leftrightarrow-x-1-x-2=x+3\)

   \(\Leftrightarrow-3x=6\Leftrightarrow x=-2\) (thoả mãn \(-2\le x< -1\))

  Vậy \(x=-2\) là một nghiệm của phương trình đã cho.

TH₃: Với \(x\ge-1\):

      Khi đó \(\left|x+1\right|=x+1\) và \(\left|x+2\right|=x+2\)

    Nên phương trình đã cho trở thành: \(\left(x+1\right)-\left(x+2\right)=x+3\)

    \(\Leftrightarrow x+1-x-2=x+3\)

    \(\Leftrightarrow x=-4\) (không thoả mãn \(x\ge-1\))

   Do đó \(x=-4\) không là nghiệm của phương trình đã cho.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là \(S=\left\{-2\right\}\).

Ví dụ 5: Giải bất phương trình \(\left|2x-3\right|< 3\).

Giải:

Đối với bất phương trình, ta cũng xét các trường hợp tương ứng với điều kiện của x tương tự như khi giải phương trình.

TH₁: Với \(2x-3\ge0\Leftrightarrow x\ge\dfrac{3}{2}\)

     Khi đó \(\left|2x-3\right|=2x-3\)

     Bất phương trình đã cho trở thành: \(2x-3< 3\)

     \(\Leftrightarrow2x< 6\Leftrightarrow x< 3\)

    Kết hợp với điều kiện \(x\ge\dfrac{3}{2}\) ta được \(\dfrac{3}{2}\le x< 3\).

TH₂: Với \(2x-3< 0\Leftrightarrow x< \dfrac{3}{2}\)

     Khi đó: \(\left|2x-3\right|=3-2x\)

     Bất phương trình đã cho trở thành: \(3-2x< 3\)

     \(\Leftrightarrow-2x< 0\Leftrightarrow x>0\)

    Kết hợp với điều kiện \(x< \dfrac{3}{2}\) ta được \(0< x< \dfrac{3}{2}\)

Kết hợp nghiệm của cả 2 trường hợp ta được: \(\left[{}\begin{matrix}\dfrac{3}{2}\le x< 3\\0< x< \dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow0< x< 3\)

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là \(\left\{x|0< x< 3\right\}\).