Ôn tập: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

TH

1, Với mọi a,b,c tùy ý, chứng minh:

a2 + b2 + 1 \(\ge\) ab + a + b

2, Cho x + y + z = 1

Chứng minh: x2 + y2 + z2 \(\ge\dfrac{1}{3}\)

3, Cho 4x + y = 1

Chứng minh: 4x2 + y2 \(\ge\dfrac{1}{3}\)

LF
19 tháng 4 2017 lúc 22:05

Bài 1:

\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2-2ab-2a-2b\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1\)

Bài 2:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2=1^2=1\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{1}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

Bài 3:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(4+1\right)\left(4x^2+y^2\right)\ge\left(4x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow5\left(4x^2+y^2\right)\ge\left(4x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow5\left(4x^2+y^2\right)\ge\left(4x+y\right)^2=1^2=1\)

\(\Rightarrow4x^2+y^2\ge\dfrac{1}{5}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{5}\)

Bình luận (5)
NK
8 tháng 5 2017 lúc 7:51

tôi không biết

banh

hehe ngoam
oaoa leu
thanghoa ok

Bình luận (2)

Các câu hỏi tương tự
NT
Xem chi tiết
DT
Xem chi tiết
VA
Xem chi tiết
TX
Xem chi tiết
TV
Xem chi tiết
QN
Xem chi tiết
PK
Xem chi tiết
TK
Xem chi tiết
VN
Xem chi tiết