Điều đầu tiên ta chứng minh được bất đẳng thức sau : \(\sqrt{\dfrac{a^2}{a-1}}\ge2\)
Ta có :
\(\sqrt{\dfrac{a^2}{a-1}}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{a-1}\ge4\)
\(\Leftrightarrow a^2\ge4a-4\)
\(\Leftrightarrow a^2-4a+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)^2\ge0\) ( Luôn đúng )
Tương tự ta vẫn có : \(\sqrt{\dfrac{b^2}{b-1}}\ge2\)
Áp dụng BĐT Cô - Si cho hai số không âm ta có :
\(M=\dfrac{a^2}{b-1}+\dfrac{b^2}{a-1}\ge2\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}}=2\sqrt{\dfrac{a^2}{a-1}}.\sqrt{\dfrac{b^2}{b-1}}=2.2.2=8\)
Vậy GTNN của M là 8 khi \(a=b=2\)
\(\dfrac{a^2}{b-1}+\dfrac{b^2}{a-1}\ge2\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}}=\dfrac{2ab}{\sqrt{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}}\ge\dfrac{2ab}{\dfrac{a-1+1}{2}.\dfrac{b-1+1}{2}}=8\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=2\)
