\(A=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1};B=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{2}{x-1}\right):\dfrac{\sqrt{x}}{3}\) (ĐK:\(x>0;x\ne1\))
1.
\(B=\left(\dfrac{\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}+\dfrac{2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right):\dfrac{\sqrt{x}}{3}\)
\(B=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\cdot\dfrac{3}{\sqrt{x}}\)
\(B=\dfrac{3}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\)
2.
Ta có:\(A.B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}.\dfrac{3}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}=\dfrac{3}{x-1}\)
A.B \(\in Z\)\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{x-1}\in Z\Leftrightarrow x-1\inƯ\left(3\right)=\left\{\pm1;\pm3\right\}\)
Vì \(x>0\Rightarrow x-1>-1\Rightarrow x-1=\left\{1;3\right\}\Rightarrow x=\left\{2;4\right\}\)
Để rút gọn biểu thức \( B \), chúng ta cần làm phép tính và thực hiện các bước tương ứng:
\[ B = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{2}{x - 1} \div \frac{\sqrt{x}}{3} \]
Đầu tiên, chúng ta phải tìm số mẫu chung cho các phần tử trong biểu thức. Đó là \( (\sqrt{x} + 1)(x - 1) \):
\[ B = \frac{3(x - 1) + 6(\sqrt{x} + 1)}{3(\sqrt{x} + 1)(x - 1)} \]
\[ B = \frac{3x - 3 + 6\sqrt{x} + 6}{3(\sqrt{x} + 1)(x - 1)} \]
\[ B = \frac{3x + 6\sqrt{x} + 3}{3(\sqrt{x} + 1)(x - 1)} \]
\[ B = \frac{3(x + 2\sqrt{x} + 1)}{3(\sqrt{x} + 1)(x - 1)} \]
\[ B = \frac{x + 2\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} + 1)(x - 1)} \]
Để tìm giá trị nguyên của \( x \) để \( A \cdot B \) nhận giá trị nguyên, ta cần giải phương trình sau đây:
\[ A \cdot B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \cdot \frac{x + 2\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} + 1)(x - 1)} \]
\[ A \cdot B = \frac{x + 2\sqrt{x} + 1}{x - 1} \]
Chúng ta muốn biểu thức này nhận giá trị nguyên, điều này xảy ra khi \( x + 2\sqrt{x} + 1 \) chia hết cho \( x - 1 \). Điều này cũng tương đương với việc \( x + 1 \) chia hết cho \( x - 1 \), vì \( 2\sqrt{x} \) luôn là một số thực.
Vì vậy, chúng ta cần giải phương trình \( x + 1 = 0 \) để tìm các giá trị nguyên của \( x \):
\[ x + 1 = 0 \]
\[ x = -1 \]
Tuy nhiên, khi thay \( x = -1 \) vào biểu thức ban đầu, chúng ta phải loại bỏ giá trị này vì căn bậc hai của số âm không xác định trong miền xác định của biểu thức. Do đó, không có giá trị nguyên nào của \( x \) thỏa mãn yêu cầu của câu hỏi.
a.
ĐKXĐ: \(x>0;x\ne1\)
\(B=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{2}{x-1}\right):\dfrac{\sqrt{x}}{3}\)
\(=\left(\dfrac{\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}+\dfrac{2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right):\dfrac{\sqrt{x}}{3}\)
\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1+2\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}.\dfrac{3}{\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}.\dfrac{3}{\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{3}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\)
b.
Đặt \(P=AB=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}.\dfrac{3}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}=\dfrac{3}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}=\dfrac{3}{x-1}\)
Để P nguyên \(\Rightarrow x-1=Ư\left(3\right)\)
\(\Rightarrow x-1=\left\{-3;-1;1;3\right\}\)
\(\Rightarrow x=\left\{-2;0;2;4\right\}\)
Kết hợp ĐKXĐ \(\Rightarrow x=\left\{2;4\right\}\)
1:
ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x>0\\x\ne1\end{matrix}\right.\)
\(B=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{2}{x-1}\right):\dfrac{\sqrt{x}}{3}\)
\(=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right)\cdot\dfrac{3}{\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}-1+2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\cdot\dfrac{3}{\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}+1\right)}\cdot\dfrac{3}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\)
\(=\dfrac{3}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\)
2: Đặt \(P=A\cdot B\)
\(=\dfrac{3}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{3}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{3}{x-1}\)
Để P là số nguyên thì \(x-1\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)
=>\(x\in\left\{2;0;4;-2\right\}\)
=>\(x\in\left\{2;0;4\right\}\)
Kết hợp ĐKXĐ, ta được: \(x\in\left\{2;4\right\}\)