\(S=\frac{1}{1+a^2+b^2}+\frac{\frac{1}{9}}{2ab}+\frac{4}{9ab}\ge\frac{\left(1+\frac{1}{3}\right)^2}{1+a^2+b^2+2ab}+\frac{16}{9\left(a+b\right)^2}\)
\(S\ge\frac{\frac{16}{9}}{1+\left(a+b\right)^2}+\frac{16}{9\left(a+b\right)^2}\ge\frac{\frac{16}{9}}{1+1}+\frac{16}{9}=\frac{8}{3}\)
\(S_{min}=\frac{8}{3}\) khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn: a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(Q=\frac{1+a}{1+9b^2}+\frac{1+b}{1+9c^2}+\frac{1+c}{1+9a^2}\)
Cho 2 số thực dương a,b thỏa mãn: \(a+b\le4\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=\(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{25}{ab}+ab\)
\(\left(\frac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}}-\frac{x\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}\right):\frac{x+2}{x-2}\) Với x>0 , x \(\ne\)1,2
1) Rút gọn A
2) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên
3) Xét biểu thức \(B=\frac{\left(A-2\right)\left(8\sqrt{x}+3\right)}{7A+18}\). Tìm các giá trị của x để biểu thức B đạt giá trị nhỏ nhất . Tìm GTNN đó ?
Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:
\(\frac{b^3}{a^2\left(a^3+2b^3\right)}+\frac{c^3}{b^2\left(b^3+2c^3\right)}+\frac{a^3}{c^2\left(c^3+2a^3\right)}\ge\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\).
cho a,b,c>0 và a+b+c=1
chứng minh \(\frac{a^2}{a+\sqrt{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt{ab}}\ge\frac{1}{2}\)
cho a,b,c >0; abc=1.chứng minh
\(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\frac{3}{2}\)
cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1
CMR: \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
cho 3 số thực dương a,b,c
CMR: \(\frac{a^4}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b^4}{\left(a+c\right)^2}+\frac{c^4}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{1}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Cho 2 biểu thức A=\(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)và B= \(\frac{3\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}-2}\) (x>0; x\(\ne\)1;x\(\ne\)4)
Cho P=\(\frac{B}{A}\).Tìm các giá trị nguyên của x để |P|>P