Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge x^2+y^2+2xy=\left(x+y\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{2x^2+xy+2y^2}=\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}+\dfrac{3\left(x^2+y^2\right)}{2}}\)
\(\ge\sqrt{\dfrac{5\left(x+y\right)^2}{4}}=\dfrac{\sqrt{5}\left(x+y\right)}{2}\). Tương tự ta có:
\(\sqrt{2y^2+yz+2z^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}\left(y+z\right)}{2};\sqrt{2z^2+xz+2x^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}\left(x+z\right)}{2}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\ge\dfrac{\sqrt{5}\left(x+y\right)}{2}+\dfrac{\sqrt{5}\left(y+z\right)}{2}+\dfrac{\sqrt{5}\left(x+z\right)}{2}\)
\(=\dfrac{\sqrt{5}\cdot2\left(x+y+z\right)}{2}=\dfrac{\sqrt{5}\cdot2}{2}=\sqrt{5}=VP\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
(Đề đúng: VT\(\ge\sqrt{5}\))
Chứng minh: \(\sqrt{2x^2+xy+2y^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(x+y\right)\)(1)
(1)<=>\(2x^2+xy+2y^2\ge\dfrac{5}{4}\left(x+y\right)^2\)
<=>\(8x^2+4xy+8y^2\ge5\left(x^2+2xy+y^2\right)\)
<=>\(3\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
=>(1) được chứng minh.
CMTT:\(\sqrt{2y^2+yz+2z^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(y+z\right)\)(2)
và \(\sqrt{2z^2+zx+2x^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(z+x\right)\)(3)
Cộng (1), (2) và (3) theo vế ta có:
VT (bất đẳng thức cần chứng minh)\(\ge\dfrac{\sqrt{5}.2\left(x+y+z\right)}{2}=\sqrt{5}\)
(vì x+y+z=1).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\).