ta có:\(P=\sum\dfrac{y^2z^2}{x\left(y^2+z^2\right)}=\sum\dfrac{\dfrac{1}{x}}{\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}}\)
đặt \(\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\)thì giả thiết trở thành : \(a^2+b^2+c^2=1\).tìm Min \(P=\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{a^2+c^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2}\)
ta có:\(\dfrac{a}{b^2+c^2}=\dfrac{a}{1-a^2}=\dfrac{a^2}{a\left(1-a^2\right)}\)
Áp dụng bất đẳng thức cauchy:
\(\left[a\left(1-a^2\right)\right]^2=\dfrac{1}{2}.2a^2\left(1-a^2\right)\left(1-a^2\right)\le\dfrac{1}{54}\left(2a^2+1-a^2+1-a^2\right)^3=\dfrac{4}{27}\)
\(\Rightarrow a\left(1-a^2\right)\le\dfrac{2}{3\sqrt{3}}\)\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{a\left(1-a^2\right)}\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2\)
tương tự với các phân thức còn lại ta có:
\(P\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\)
đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
hay \(x=y=z=\sqrt{3}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=a\\\dfrac{1}{y}=b\\\dfrac{1}{z}=c\end{matrix}\right.\) Thì bài toán trở thành
Cho \(a^2+b^2+c^2=1\) tính GTNN của \(P=\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2}\)
Ta có:
\(a^2+b^2+c^2=1\)
\(\Rightarrow a^2+b^2=1-c^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{c}{a^2+b^2}=\dfrac{c^2}{c\left(1-c^2\right)}\)
Mà ta có: \(2c^2\left(1-c^2\right)\left(1-c^2\right)\le\dfrac{\left(2c^2+1-c^2+1-c^2\right)^3}{27}=\dfrac{8}{27}\)
\(\Rightarrow c\left(1-c^2\right)\le\dfrac{2}{3\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{c^2}{c\left(1-c^2\right)}\ge\dfrac{3\sqrt{3}c^2}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{c}{a^2+b^2}\ge\dfrac{3\sqrt{3}c^2}{2}\left(1\right)\)
Tương tự ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b}{c^2+a^2}\ge\dfrac{3\sqrt{3}b^2}{2}\left(2\right)\\\dfrac{a}{b^2+c^2}\ge\dfrac{3\sqrt{3}a^2}{2}\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow P\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) hay \(x=y=z=\sqrt{3}\)
Chuẩn hóa chuẩn hóa, thuần nhất như sau 
Dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{3}\) ta tìm được \(P=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\)
Ta chứng minh nó là GTNN của \(P\)
\(\LeftrightarrowΣ\dfrac{y^2z^2}{x\left(y^2+z^2\right)}\ge\dfrac{3}{2}\sqrt{\dfrac{3}{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}}}\)
\(\LeftrightarrowΣ\dfrac{y^3z^3}{y^2+z^2}\ge\dfrac{3}{2}\sqrt{\dfrac{3x^4y^4z^4}{x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2}}\). Cho \(\left(yz;xz;xy\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\)
Khi đó ta cần chứng minh \(Σ\dfrac{a^3}{\dfrac{ac}{b}+\dfrac{ab}{c}}\ge\dfrac{3}{2}\sqrt{\dfrac{3a^2b^2c^2}{a^2+b^2+c^2}}\)
\(\LeftrightarrowΣ\dfrac{a^2}{b^2+c^2}\ge\dfrac{3}{2}\sqrt{\dfrac{3}{a^2+b^2+c^2}}\) từ BĐT cuối thuần nhất ta có thể chuẩn hóa \(a^2+b^2+c^2=3\)
Nghĩa là ta cần c/m \(Σ\dfrac{a}{3-a^2}\ge\dfrac{3}{2}\LeftrightarrowΣ\left(\dfrac{a}{3-a^2}-\dfrac{1}{2}\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\dfrac{\left(a-1\right)\left(a+3\right)}{3-a^2}\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(\dfrac{\left(a-1\right)\left(a+3\right)}{\left(3-a^2\right)}-\left(a^2-1\right)\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\dfrac{a\left(a+2\right)\left(a-1\right)^2}{3-a^2}\ge0\). Done !!
Đông vui qúa
Tham gia cho
Đặt \(x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow x^2=\dfrac{1}{3}\Rightarrow\dfrac{1}{x^2}=3\Rightarrow\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}=2\Rightarrow\dfrac{1}{y^2}=2-\dfrac{1}{z^2}\)
x,y,z vai trò như nhau
Nếu \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\\y=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\\z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) P trở thành \(\dfrac{\sqrt{3}\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}}+\dfrac{\sqrt{3}\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}}+\dfrac{\sqrt{3}\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}}\)
Kết luận nếu x,y,z không đổi thì P suy biến thành một điểm