Câu 1:
a) Cho M = \(x^3-3x^2-3x+3\) .
Biết \(x=1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\)
Chứng minh rằng: M là số chính phương
b) Cho \(x,y,z\) là các số không âm. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}+\dfrac{xy}{z}\ge x+y+z\)
Câu 2:
Cho biểu thức
A = \(\dfrac{15\sqrt{x}-11}{x+2\sqrt{x}-3}+\dfrac{3\sqrt{x}-2}{1-\sqrt{x}}-\dfrac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}\)
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm gía trị nguyên của \(x\) sao cho giá trị tương ứng của biểu thức A nguyên
Câu 3:
Cho PT: \(x^2+\left(4m+1\right)x+2\left(m-4\right)=0\)
a) Tìm \(m\) để PT có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn điều kiện \(x_2-x_1=17\)
b) Tìm \(m\) để biểu thức \(\left(x_2-x_1\right)^2\) có GTNN
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc \(m\)
Câu 4:
a) Thực hiện phép tính:
\(\dfrac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2}-\sqrt{3}}\)
b) Cho \(a+b+c=0\)
\(a,b,c\ne0\)
Chứng minh đẳng thức: \(\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}=\left|\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right|\)
Câu 5:
Một ca nô đi từ A đến B rồi nghỉ tại B 12 phút, sau đó quay về A mất tổng cộng 3 giờ 30 phút. Biết vận tốc khi ca nô xuôi dòng là 60 km/h và ngược dòng là 50 km/h. Tính quãng đường AB và vận tốc của dòng nước.
Thk lm bài vận tốc dễ sợ lun!
Câu 5:
Đổi 12 phút = \(\dfrac{1}{5}\)h ; 3 giờ 30 phút = \(\dfrac{7}{2}\)h
Gọi quãng đường AB là x ( x > 82,5 ) km
=> Thời gian ca nô xuôi dòng là: \(\dfrac{x}{60}\) h
Thời gian ca nô ngược dòng là: \(\dfrac{x}{50}\) h
Vì tổng thời gian cả đi lẫn về và thời gian nghỉ thì mất tất cả \(\dfrac{7}{2}\)h
Nên ta có PT:
\(\dfrac{x}{60}+\dfrac{x}{50}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{7}{2}\)
<=> \(x\left(\dfrac{1}{50}+\dfrac{1}{60}\right)=\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{5}\)
<=> \(\dfrac{11}{300}x=\dfrac{33}{10}\)
<=> \(x=90\) (TM)
Ta lại có: vdòng nước = ( vxuôi dòng - vngược dòng ) : 2
= ( 60 - 50) : 2 = 5 (km/h)
Vậy ............................................
P/s: Điều kiện của SAB bn cx ko cần lấy sát như v, chỉ cần x > 0 cx đc!
4a)
\(\dfrac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2}-\sqrt{3}}\)
\(=\dfrac{2+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{2-\sqrt{3}}{-\sqrt{3}}\)
\(=\dfrac{\left(2+\sqrt{3}\right)\cdot\left(2\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{5}-\dfrac{\left(2-\sqrt{3}\right)\sqrt{3}}{3}\)
\(=\dfrac{4\sqrt{2}-2\sqrt{3}+2\sqrt{6}-3}{5}-\dfrac{2\sqrt{3}-3}{3}\)
\(=\dfrac{3\left(4\sqrt{2}-2\sqrt{3}+2\sqrt{6}-3\right)-5\left(2\sqrt{3}-3\right)}{15}\)
\(=\dfrac{12\sqrt{2}-6\sqrt{3}+6\sqrt{6}-9-10\sqrt{3}+15}{15}\)
\(=\dfrac{12\sqrt{2}-16\sqrt{3}+6\sqrt{6}+6}{15}\)
Câu 1:
b) Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}\ge2\sqrt{\dfrac{yz}{x}.\dfrac{xz}{y}}=2z\) (1)
Tương tự: \(\dfrac{xz}{y}+\dfrac{xy}{z}\ge2x\) (2) ; \(\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xy}{z}\ge2y\) (3)
Cộng (1);(2);(3) vế theo vế ta được:
\(2\left(\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}+\dfrac{xy}{z}\right)\ge2\left(x+y+z\right)\)
<=> \(\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}+\dfrac{xy}{z}\ge x+y+z\) (đpcm)
câu 3 a) \(\Delta\) = \(\left(4m+1\right)^2-4.2\left(m-4\right)\) \(=16m^2+8m+1-8\left(m-4\right)\)
= \(16m^2+8m+1-8m+32\) = \(16m^2+33\ge33>0\forall m\)
vậy phương trình luôn có 2 ngiệm \(\forall\)m
ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-4m-1\\x_2-x_1=17\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}2x_2=-4m+16\\x_2-x_1=17\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x_2=-2m+8\\-2m+8-x_1=17\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x_2=-2m+8\\x_1=-2m-9\end{matrix}\right.\)
ta có \(x_1x_2=2m-8\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(-2m+8\right)\left(-2m-9\right)\) = \(2m-8\)
\(\Leftrightarrow\) \(4m^2+18m-16m-72=2m-8\)
\(\Leftrightarrow\) \(4m^2=64\) \(\Leftrightarrow\) \(m^2=16\) \(\Leftrightarrow\) \(m=\pm4\)
câu 3 b) ta có : \(\left(x_2-x_1\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\) (1)
áp dụng hệ thức vi ét ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-4m-1\\x_1x_2=2m-8\end{matrix}\right.\)
thay vào (1) \(\Leftrightarrow\) \(\left(-4m-1\right)^2-4\left(2m-8\right)\) \(\Leftrightarrow\) \(16m^2+8m+1-8m+32\)
\(\Leftrightarrow\) \(16m^2+33\ge33\)
vậy min(x2 - x1)2 là 33 khi 16m2 = 0 \(\Leftrightarrow\) m = 0
câu 2 : a) \(\dfrac{15\sqrt{x}-11}{x+2\sqrt{x}-3}+\dfrac{3\sqrt{x}-2}{1-\sqrt{x}}-\dfrac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}\)
= \(\dfrac{15\sqrt{x}-11}{x+2\sqrt{x}-3}-\dfrac{3\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}\)
= \(\dfrac{15\sqrt{x}-11-\left(3\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+3\right)-\left(2\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)
= \(\dfrac{15\sqrt{x}-11-\left(3x+9\sqrt{x}-2\sqrt{x}-6\right)-\left(2x-2\sqrt{x}+3\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)
= \(\dfrac{15\sqrt{x}-11-3x-9\sqrt{x}+2\sqrt{x}+6-2x+2\sqrt{x}-3\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)
= \(\dfrac{-5x+7\sqrt{x}-2}{x+2\sqrt{x}-3}\)
Câu 1 a)
\(\left(x-1\right)^3=\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\right)^3=6+6\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\right)\)
\(M=x^3-3x^2-3x+3=\left(x-1\right)^3-6x+4\)
\(=6+6\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\right)-6\left(1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\right)+4\)
\(=4=2^2\)
Vậy M là số chính phương