Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC sao cho AD =AE. a) Chứng minh BE = CD b) Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh tam giác KBC cân. c) Chứng minh AK là phân giác góc A. d) Kéo dài AK cắt BC tại H . Cho AB = 5cm, BC = 6cm. Tính độ dài AH. Giúp mình với!!!
Bài 7:
a) Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\left(gt\right)\)
=> \(AB=AC.\)
Xét 2 \(\Delta\) \(ABE\) và \(ACD\) có:
\(AB=AC\left(cmt\right)\)
\(\widehat{A}\) chung
\(AE=AD\left(gt\right)\)
=> \(\Delta ABE=\Delta ACD\left(c-g-c\right)\)
=> \(BE=CD\) (2 cạnh tương ứng).
b) Theo câu a) ta có \(\Delta ABE=\Delta ACD.\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABE}=\widehat{ACD}\\\widehat{AEB}=\widehat{ADC}\end{matrix}\right.\) (các góc tương ứng).
\(\widehat{ABE}=\widehat{ACD}\Rightarrow\widehat{KBD}=\widehat{KCE}.\)
Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ADC}+\widehat{CDB}=180^0\\\widehat{AEB}+\widehat{BEC}=180^0\end{matrix}\right.\) (các góc kề bù).
Mà \(\widehat{ADC}=\widehat{AEB}\left(cmt\right)\)
=> \(\widehat{CDB}=\widehat{BEC}.\)
Hay \(\widehat{KDB}=\widehat{KEC}.\)
Lại có:
\(\left\{{}\begin{matrix}AD+BD=AB\\AE+CE=AC\end{matrix}\right.\)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}AD=AE\left(gt\right)\\AB=AC\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)
=> \(BD=CE.\)
Xét 2 \(\Delta\) \(KBD\) và \(KCE\) có:
\(\widehat{KBD}=\widehat{KCE}\left(cmt\right)\)
\(BD=CE\left(cmt\right)\)
\(\widehat{KDB}=\widehat{KEC}\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta KBD=\Delta KCE\left(g-c-g\right)\)
=> \(KB=KC\) (2 cạnh tương ứng).
=> \(\Delta KBC\) cân tại K.
c) Xét 2 \(\Delta\) \(AKB\) và \(AKC\) có:
\(AB=AC\left(cmt\right)\)
\(KB=KC\left(cmt\right)\)
Cạnh AK chung
=> \(\Delta AKB=\Delta AKC\left(c-c-c\right)\)
=> \(\widehat{BAK}=\widehat{CAK}\) (2 góc tương ứng).
=> \(AK\) là tia phân giác của \(\widehat{A}.\)
Chúc bạn học tốt!
