Bài 2: Cho AABC vuông tại A có AB = 12 cm, AC = 16 cm, đường cao HA. Tia phân giác của ABC lần lượt cắt AH và AC tại M và N. Đường thẳng qua H song song với BN và cắt AC tại I
a) Chứng minh: AABC – ΔΗΒΑ
b) Tính độ dài các cạnh BC, AH, BH
c) chứng minh tam giác AMN cân tại A và AM.AB = MH.BC
d) Chứng minh: AM² =NI.NC
a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có
\(\widehat{ABC}\) chung
Do đó: ΔABC~ΔHBA
b: ΔABC vuông tại A
=>\(BC^2=AB^2+AC^2\)
=>\(BC=\sqrt{12^2+16^2}=20\left(cm\right)\)
ΔHBA~ΔABC
=>\(\dfrac{HB}{AB}=\dfrac{HA}{AC}=\dfrac{BA}{BC}\)
=>\(\dfrac{HA}{12}=\dfrac{HA}{16}=\dfrac{12}{20}=\dfrac{3}{5}\)
=>\(HA=12\cdot\dfrac{3}{5}=7,2\left(cm\right);HA=16\cdot\dfrac{3}{5}=9,6\left(cm\right)\)
c: Xét ΔBAN vuông tại A và ΔBHM vuông tại H có
\(\widehat{ABN}=\widehat{HBM}\)
Do đó: ΔBAN~ΔBHM
=>\(\widehat{BNA}=\widehat{BMH}\)
=>\(\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\)
=>ΔAMN cân tại A
ΔBAC~ΔBHA
=>\(\dfrac{BA}{BH}=\dfrac{BC}{BA}\)
ΔBAN~ΔBHM
=>\(\dfrac{BA}{BH}=\dfrac{AN}{HM}\)
=>\(\dfrac{AN}{HM}=\dfrac{BC}{BA}\)
=>\(\dfrac{AM}{HM}=\dfrac{BC}{BA}\)
=>\(AM\cdot AB=BC\cdot HM\)