Bài 1: đơn giản là đi kiểm tra các BĐT tam giác
\(a+b>c\Rightarrow\sqrt{a+b}>\sqrt{c}\)
Mà với \(a;b\) dương ta luôn có \(\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}\)
\(\Rightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c}\)
Hoàn toàn tương tự với 2 tổng còn lại
Từ dạng tổng chỉ cần chuyển vế ta sẽ chứng minh được các BĐT dạng hiệu
Bài 2:
ĐKXĐ: \(x\ge-\frac{1}{2}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+2}=a\\x=b\\\sqrt{2x+1}=c\end{matrix}\right.\) phương trình trở thành:
\(a\left(b+c\right)=a^2+bc\Leftrightarrow a^2-ab-ac+bc=0\)
\(\Leftrightarrow a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-c\right)\left(a-b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\a=c\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x+2}=x\left(x\ge0\right)\\\sqrt{x+2}=\sqrt{2x+1}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-x-2=0\\x+2=2x+1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=1\end{matrix}\right.\)
Câu 3:
ĐKXĐ: \(x\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow x^2+1-\sqrt{6x^2+1}+\sqrt{2x-3}-1=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^4+2x^2+1-\left(6x^2+1\right)}{x^2+1+\sqrt{6x^2+1}}+\frac{2x-3-1}{\sqrt{2x-3}+1}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{x^2+1+\sqrt{6x^2+1}}+\frac{2\left(x-2\right)}{\sqrt{2x-3}+1}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(\frac{x^2\left(x+2\right)}{x^2+1+\sqrt{6x^2+1}}+\frac{2}{\sqrt{2x-3}+1}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x-2=0\) (ngoặc phía sau luôn dương \(\forall x\ge\frac{3}{2}\))
\(\Rightarrow x=2\)