Ôn tập phương trình bậc hai một ẩn

Xét phương trình 7x² + 2(m – 1)x – m² = 0 (1)

a) Phương trình có nghiệm khi ∆’ ≥ 0

Ta có: ∆’ = (m – 1)² – 7(-m²) = (m – 1)² + 7m² ≥ 0 với mọi m

Vậy phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

b) Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình (1)

Ta có:

\(x^2_1+x^2_2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\\ =\left[\dfrac{-2\left(m-1\right)^2}{7}\right]-2\dfrac{\left(-m\right)^2}{7}\\ =\dfrac{4m^2-8m+4}{49}+\dfrac{2m^2}{7}\\ =\dfrac{4m^2-8m+4+14m^2}{49}\\ =\dfrac{18m^2-8m+4}{49}\)

Vậy \(x^2_1+x^2_2=\dfrac{18m^2-8m+4}{49}\).

Gọi tỉ số tăng dân số trung bình mỗi năm là x% (x > 0).

Sau một năm dân số của thành phố là:

2 000 000 + 2 000 000 . \(\dfrac{x}{100}\) = 2 000 000 + 20 000x (người)

Sau hai năm, dân số của thành phố là:

2 000 000 + 20 000x + (2 000 000 + 20 000x). \(\dfrac{x}{100}\)

= 2 000 000 + 40 000x + 200x² (người)

Ta có phương trình:

2 000 000 + 40 000x + 200x² = 2 020 050 \(\Leftrightarrow\) 4 x² + 800x – 401 = 0

\(\Delta\)’ = 400² – 4(-401) = 160 000 + 1 604 = 161 604 > 0

\(\sqrt{\Delta}\)’ = \(\sqrt{ }\)161 604 = 402

Vậy phương trình có 2 nghiệm:

\(x_1=\dfrac{-400+402}{4}=0,5\left(TM\right)\)

và \(x_2=\dfrac{-400-402}{4}=-200,5< 0\)( loại )

Tỉ lệ tăng dẫn số trung bình hàng năm của thành phố là 0,5%

a, \(1,2x^3-x^2-0,2x=0\)
\(\Leftrightarrow12x^3-10x^2-2x=0\)
\(\Leftrightarrow6x^3-5x^2-x=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(6x^2-5x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\6x^2-5x-1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\\x=-\dfrac{1}{6}\end{matrix}\right.\)
Vậy tập nghiệm của pt đã cho là \(S=\left\{-\dfrac{1}{6};0;1\right\}\)

b, \(5x^3-x^2-5x+1=0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(5x-1\right)-\left(5x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(5x-1\right)\left(x^2-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-1=0\\5x-1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\pm1\\x=\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S=\left\{-1;\dfrac{1}{5};1\right\}\)

a) u + v = 12; uv = 28 và u > v

u và v là hai nghiệm của phương trình:

x² – 12x + 28 = 0

\(\Delta\)’ = 36 – 28 = 8

\(\Rightarrow x_1=6+2\sqrt{2}\)

\(x_2=6-2\sqrt{2}\)

Vì \(6+2\sqrt{2}>6-2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow u=6+2\sqrt{2}\)

\(v=6-2\sqrt{2}\)

b) u + v = 3; uv = 6

u và v là hai nghiệm của phương trình:

x² – 3x + 6 = 0

\(\Delta\) = (-3)² – 4.1.6 = 9 – 24 = -15 < 0

Phương trình vô nghiêmh suy ra không có 2 số u và v thỏa mãn điều kiện đã cho.

a, Đặt \(x^2-2x=t\)
Phương trình đã cho trở thành:
\(2t^2+3t+1=0\)
Có a-b+c = 2-3+1 = 0
=> Phương trình có 2 nghiệm: \(t_1=-1;t_2=-\dfrac{1}{2}\)
Với t= -1 ta có \(x^2-2x=-1\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x=1\)
Với t= -1/2 ta có \(x^2-2x=-\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow2x^2-4x+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\\x=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy tập nghiệm của pt đã cho là \(S=\left\{1;\dfrac{2+\sqrt{2}}{2};\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\right\}\)

b, ĐK: x khác 0
Đặt \(x+\dfrac{1}{x}=t\)
Phương trình đã cho trở thành: \(t^2-4t+3=0\)
Có a+b+c=1-4+3=0
=> Phương trình có 2 nghiệm \(t_1=1;t_2=3\)
• Với t=1 ta có \(x+\dfrac{1}{x}=1\)
\(\Leftrightarrow x^2-x+1=0\)
Vì \(\Delta=1^2-4.1=-3< 0\) nên pt vô nghiệm
• Với t=3 ta có \(x+\dfrac{1}{x}=3\)
\(\Leftrightarrow x^2-3x+1=0\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}\) (TMĐK)
Vậy tập nghiệm của pt đã cho là \(S=\left\{\dfrac{3+\sqrt{5}}{2};\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\right\}\)

a,5x²-3x+1=2x+11

\(\Leftrightarrow5x^2-3x+1-2x-11=0\)

\(\Leftrightarrow5x^2-5x-10=0\)

có a-b+c=5+5-10=0

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=-1\\x_2=2\end{matrix}\right.\)

vậy PT đã cho có 2 nghiệm là x₁=-1;x₂=2

b/\(\dfrac{x^2}{5}-\dfrac{2x}{3}=\dfrac{x+5}{6}\)

=>6x²-20x-5x-25=0

<=>6x²-25x-25=0

<=>(x-5)(6x+5)=0

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=5\\x=\dfrac{-5}{6}\end{matrix}\right.\)

vậy PT đã cho có 2 nghiệm x₁=5; x₂=\(\dfrac{-5}{6}\)

c.\(\dfrac{x}{x-2}=\dfrac{10-2x}{x^2-2x}\)

=>x²+2x-10=0

\(\Delta^'=1+10=11\)

vì \(\Delta^'>0\) nên PT có 2 nghiệm phân biệt

x₁=-1-\(\sqrt{11}\)

x₂=-1+\(\sqrt{11}\)

d, \(\dfrac{x+0,5}{3x+1}=\dfrac{7x+2}{9x^2-1}\) ĐK x\(\ne\pm\dfrac{1}{3}\)

=>2(x+0,5)(3x-1) =2(7x+2)

=>6x²-13x-5=0

\(\Delta=169+120=289\Rightarrow\sqrt{\Delta}=17\)

vì \(\Delta\)> 0 nên PT có 2 nghiệm phân biệt

x₁=\(\dfrac{13-17}{6}=\dfrac{-1}{3}\) (loại)

x₂=\(\dfrac{13+17}{6}=\dfrac{5}{2}\) (thỏa mãn)

e,\(2\sqrt{3}x^2+x+1=\sqrt{3}\left(x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{3}x^2-\left(\sqrt{3}-1\right)x+1-\sqrt{3}=0\)

\(\Delta=\left(\sqrt{3}-1\right)^2-8\sqrt{3}\left(1-\sqrt{3}\right)\)

=\(4-2\sqrt{3}-8\sqrt{3}+24\)

=25-2.5\(\sqrt{3}\)+3 =(5-\(\sqrt{3}\))²

vì \(\Delta\) >0 nên PT có 2 nghiệm phân biệt

x₁=\(\dfrac{\sqrt{3}-1+5-\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

x₂=\(\dfrac{\sqrt{3}-1-5+\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}\)

f/ x²+2\(\sqrt{2}\)x+4=3(x+\(\sqrt{2}\))

\(\Leftrightarrow x^2+\left(2\sqrt{2}-3\right)x+4-3\sqrt{2}=0\)

\(\Delta=8-12\sqrt{2}+9-16+12\sqrt{2}=1\)

vì \(\Delta\)>0 nên PT đã cho có 2 nghiệm phân biệt

x₁=\(\dfrac{3-2\sqrt{2}+1}{2}=2-\sqrt{2}\)

x₂=\(\dfrac{3-2\sqrt{2}-1}{2}=1-\sqrt{2}\)

Điều này chứng tỏ rằng đồ thị đường thẳng cắt đồ thị parapol tại hai điểm có hoành độ lần lượt là x = -1; x= 2. Hai giá trị này cũng chính là nghiệm của phương trình x² - x - 2 = 0 ở câu a).

- Bảng giá trị:

- Vẽ đồ thị:

a) Đường thẳng qua B(0; 4) song song với Ox cắt đồ thị tại hai điểm M, M' (xem hình). Từ đồ thị ta có hoành độ của M là x = 4, của M' là x = - 4.

a). Đặt \(x^2=y\) \(\left(y\ge0\right)\) ta có ;

\(3y^2-12y+9=0\)

\(\Leftrightarrow y^2-4y+3=0\)

Nhận xét : \(a+b+c=1+\left(-4\right)+3=0\)

\(\Rightarrow y_1=1\) (TM \(y\ge0\))

\(y_2=\dfrac{3}{1}=3\)

Với \(y=y_1=1\Rightarrow x^2=1\Leftrightarrow x_1=1;x_2=-1\)

Với \(y=y_2=3\Rightarrow x^2=3\Leftrightarrow x_3=\sqrt{3};x_4=-\sqrt{3}\)

Vậy \(x_1=1;x_2=-1;x_3=\sqrt{3};x_4=-\sqrt{3}\) là các giá trị cần tìm

b) . Đặt \(x^2=y\) \(\left(y\ge0\right)\) ta có ;

\(2y^2+3y-2=0\)

\(\Delta_y=3^2-4\cdot2\cdot\left(-2\right)=9+16=25\) \(\left(\sqrt{\Delta}=5\right)\)

Vì \(\Delta>0\) nên pt có 2 nghiệm phân biệt

\(\Rightarrow\)\(y_1=\dfrac{-3+5}{2\cdot2}=\dfrac{1}{2}\) (TM \(y\ge0\) )

\(y_2=\dfrac{-3-5}{2\cdot2}=-2\) (KTM \(y\ge0\) )

Với \(y=y_1=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x^2=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x_1=\dfrac{1}{4};x_2=-\dfrac{1}{4}\)

Vậy \(x_1=\dfrac{1}{4};x_2=-\dfrac{1}{4}\) là các giá trị cần tìm

c) Đặt \(x^2=y\) \(\left(y\ge0\right)\) ta có ;

\(y^2+5y+1=0\)

\(\Delta_y=5^2-4\cdot1\cdot1=25-4=21\)

Vì \(\Delta>0\) nên pt có 2 nghiệm phân biệt

\(\Rightarrow y_1=\dfrac{-5+\sqrt{21}}{2\cdot1}=\dfrac{-5+\sqrt{21}}{2}\) (KTM \(y\ge0\))

\(y_2=\dfrac{-5-\sqrt{21}}{2\cdot1}=\dfrac{-5-\sqrt{21}}{2}\) (KTM \(y\ge0\))

Vậy pt đã cho vô nghiệm

a) Vì pt có nghiệm theo vi-ét ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}\\x_1\cdot x_2=\dfrac{1}{12}\end{matrix}\right.\)

Thay \(x_1=\dfrac{1}{2}\) ta có : \(x_2=\dfrac{2}{3}-x_1=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}\)

b) Vì pt có nghiệm theo vi-ét ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{7}{2}\\x_1\cdot x_2=\dfrac{-39}{2}\end{matrix}\right.\)

Thay \(x_1=-3\) ta có : \(x_2=\dfrac{7}{2}-x_1=\dfrac{7}{2}-\left(-3\right)=\dfrac{13}{2}\)

c) Vì pt có nghiệm theo vi-ét ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-1\\x_1\cdot x_2=-2+\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

Thay \(x_1=-\sqrt{2}\) ta có : \(x_2=-1-x_1=-1-\left(-\sqrt{2}\right)=\sqrt{2}-1\)

d) Thay \(x_1=2\) vào pt ta có

\(2^2-2m\cdot2+m-1=0\)

\(\Leftrightarrow4-4m+m-1=0\\ \Leftrightarrow3-3m=0\\ \Leftrightarrow-3m=-3\\ \Leftrightarrow m=1\)

Vì pt \(x^2-2mx+m-1=0\) có nghiệm theo vi-ét ta có

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1\cdot x_2=m-1\end{matrix}\right.\)

Thay \(x_1=2\) ta có :

\(x_2=2m-x_1=2\cdot1-2=0\)