Ôn tập phương trình bậc hai một ẩn

DN

Câu 1:Chứng minh với mọi \(x\ge0;x\ne4\)thì biểu thức Q=\(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x+4}}\)không thể nhận giá trị nguyên

Câu 2:Giải các phương trình sau:

a)\(4x^2+11x+18=8\sqrt{\left(x+2\right)\left(x^2+2x+3\right)}\)

b)\(3x^2-11x-22=7\sqrt{\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x-7\right)}\)

Câu 3:Giải các hệ phương trình:

a)\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)\left(x^2+y^2\right)+y\left(x^2-5\right)=xy^2-5x\\4x\sqrt{y+3}+2\sqrt{2x-1}=4y^2+3x+3\end{matrix}\right.\)

b)\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x+1}.\left(2x+3\right)-2y=y^3\\\sqrt{2x+13}+5=3y+\sqrt{2x+6}\end{matrix}\right.\)

Câu 4:Giả sử (x;y) là các số thực thỏa mãn:

\(\left(x+\sqrt{3+x^2}\right).\left(y+\sqrt{3+y^2}\right)=9\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=x^2+xy+y^2\)

NL
17 tháng 5 2019 lúc 13:37

Câu 1: Đề bài sai, với điều kiện đề bài đã cho thì Q vẫn nguyên tại \(x=0\), đề bài đúng phải là \(\forall x>0\) thì Q không nguyên (ko hiểu sao lại có điều kiện \(x\ne4\) , cái này hoàn toàn ko ảnh hưởng gì tới bài toán)

\(A=Q^2=\frac{x+4\sqrt{x}+4}{x+4}\Leftrightarrow Ax+4A=x+4\sqrt{x}+4\)

\(\Leftrightarrow\left(A-1\right)x-4\sqrt{x}+4A-4=0\)

\(\Delta'=4-\left(4A-4\right)\left(A-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow=-A^2+2A\ge0\Rightarrow0\le A\le2\Rightarrow A\le2\)

\(\Rightarrow Q\le\sqrt{2}< 2\)

Mặt khác ta có \(\sqrt{x}+2=\sqrt{x}+\sqrt{4}>\sqrt{x+4}\)

\(\Rightarrow Q=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x+4}}>1\) \(\Rightarrow1< Q< 2\Rightarrow Q\) không thể nhận giá trị nguyên

Bình luận (0)
NL
17 tháng 5 2019 lúc 13:52

Câu 2: ĐKXĐ: \(x\ge-2\)

a/ \(\Leftrightarrow4\left(x^2+2x+3\right)+3\left(x+2\right)=8\sqrt{\left(x+2\right)\left(x^2+2x+3\right)}\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+2}=a\ge0\\\sqrt{x^2+2x+3}=b>0\end{matrix}\right.\) ta được:

\(3a^2-8ab+4b^2=0\Leftrightarrow\left(a-2b\right)\left(3a-2b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=2b\\3a=2b\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x+2}=2\sqrt{x^2+2x+3}\\3\sqrt{x+2}=2\sqrt{x^2+2x+3}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}4x^2+7x+10=0\left(vn\right)\\4x^2-x-6=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=\frac{1\pm\sqrt{97}}{8}\)

b/ ĐKXĐ: \(\left[{}\begin{matrix}x\ge7\\-5\le x\le-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow3x^2-11x-22=7\sqrt{\left(x^2-5x-14\right)\left(x+5\right)}\)

\(\Leftrightarrow3\left(x^2-5x-14\right)+4\left(x+5\right)-7\sqrt{\left(x^2-5x-14\right)\left(x+5\right)}=0\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2-5x-14}=a\ge0\\\sqrt{x+5}=b\ge0\end{matrix}\right.\) ta được:

\(3a^2-7ab+4b^2=0\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(3a-4b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\3a=4b\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x^2-5x-14}=\sqrt{x+5}\\3\sqrt{x^2-5x-14}=4\sqrt{x+5}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-6x-19=0\\9x^2-61x-206=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=...\)

Bình luận (0)
NL
17 tháng 5 2019 lúc 14:09

Câu 3:

a/ ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge\frac{1}{2}\\y\ge-3\end{matrix}\right.\)

Biến đổi pt đầu:

\(x^3+xy^2-yx^2-y^3+yx^2-5y-xy^2+5x=0\)

\(\Leftrightarrow x^3-y^3+5\left(x-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+5\left(x-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2+5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=y\) (do \(x^2+xy+y^2+5=\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}+5>0\))

Thay vào pt dưới:

\(4x\sqrt{x+3}+2\sqrt{2x-1}=4x^2+3x+3\)

\(\Leftrightarrow4x^2-4x\sqrt{x+3}+x+3+2x-1-2\sqrt{2x-1}+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-\sqrt{x+3}\right)^2+\left(\sqrt{2x-1}-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-\sqrt{x+3}=0\\\sqrt{2x-1}-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=1\Rightarrow y=1\)

b/ ĐKXD: \(x\ge-\frac{1}{2}\)

Biến đổi pt đầu: đặt \(\sqrt{2x+1}=a\Rightarrow2x+3=a^2+2\)

\(\Rightarrow a\left(a^2+2\right)-2y-y^3=0\)

\(\Leftrightarrow a^3-y^3+2\left(a-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-y\right)\left(a^2+ay+y^2+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a=y\) \(\Leftrightarrow\sqrt{2x+1}=y\)

Thế vào pt dưới:

\(\sqrt{2x+13}+5=3\sqrt{2x+1}+\sqrt{2x+6}\)

\(\Leftrightarrow3\left(\sqrt{2x+1}-2\right)+\sqrt{2x+6}-3+4-\sqrt{2x+13}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{3\left(2x-3\right)}{\sqrt{2x+1}+2}+\frac{2x-3}{\sqrt{2x+6}+3}-\frac{2x-3}{\sqrt{2x+3}+4}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-3\right)\left(\frac{3}{\sqrt{2x+1}+2}+\frac{1}{\sqrt{2x+6}+3}-\frac{1}{\sqrt{2x+3}+4}\right)=0\)

Dễ thấy \(\sqrt{2x+1}< \sqrt{2x+3}\Rightarrow\sqrt{2x+1}+2< \sqrt{2x+3}+4\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{2x+1}+2}>\frac{1}{\sqrt{2x+3}+4}\Rightarrow\frac{3}{\sqrt{2x+1}+2}>\frac{1}{\sqrt{2x+3}+4}\)

\(\Rightarrow\frac{3}{\sqrt{2x+1}+2}+\frac{1}{\sqrt{2x+6}+3}-\frac{1}{\sqrt{2x+3}+4}>0\)

Vậy \(2x-3=0\Rightarrow x=\frac{3}{2}\Rightarrow y=\sqrt{2x+1}=2\)

Bình luận (0)
NL
17 tháng 5 2019 lúc 14:45

Câu 4:

\(\Leftrightarrow xy+x\sqrt{3+y^2}+y\sqrt{3+x^2}+\sqrt{\left(3+x^2\right)\left(3+y^2\right)}=9\)

\(\Leftrightarrow x\sqrt{3+y^2}+y\sqrt{3+x^2}=9-xy-\sqrt{\left(3+x^2\right)\left(3+y^2\right)}\)

Bình phương 2 vế và rút gọn ta được (ko ghi rõ đoạn khai triển vì quá dài, bạn tự bình phương ra nháp)

\(5-xy-\sqrt{\left(3+x^2\right)\left(3+y^2\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow5-xy=\sqrt{\left(3+x^2\right)\left(3+y^2\right)}\)

\(\Rightarrow x^2y^2-10xy+25=9+3\left(x^2+y^2\right)+x^2y^2\)

\(\Leftrightarrow3x^2+3y^2+10xy-16=0\)

\(\Rightarrow xy=\frac{16-3\left(x^2+y^2\right)}{10}\)

Mặt khác \(2xy\le x^2+y^2\Rightarrow3\left(x^2+y^2\right)+5\left(x^2+y^2\right)-16\ge0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\ge2\)

\(\Rightarrow P=x^2+y^2+\frac{16-3\left(x^2+y^2\right)}{10}=\frac{7\left(x^2+y^2\right)+16}{10}\ge\frac{7.2+16}{10}=3\)

\(\Rightarrow P_{min}=3\) khi \(x=y=1\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
DN
Xem chi tiết
NP
Xem chi tiết
DN
Xem chi tiết
LC
Xem chi tiết
NP
Xem chi tiết
HT
Xem chi tiết
TH
Xem chi tiết
LH
Xem chi tiết
NH
Xem chi tiết