Question

ba số thực dương a,b,c thỏa mãn \(a+\dfrac{1}{b}=4;b+\dfrac{1}{c}=1;c+\dfrac{1}{a}=\dfrac{7}{3}\). Tính abc

Answer 1

Nhân vế với vế của giả thiết:

\(\left(a+\dfrac{1}{b}\right)\left(b+\dfrac{1}{c}\right)\left(c+\dfrac{1}{a}\right)=\dfrac{28}{3}\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{a}{c}+1\right)\left(c+\dfrac{1}{a}\right)=\dfrac{28}{3}\)

\(\Leftrightarrow abc+\dfrac{1}{abc}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+a+b+c=\dfrac{28}{3}\) (1)

Cộng vế với vế giả thiết:

\(\Rightarrow a+b+c+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=4+1+\dfrac{7}{3}=\dfrac{22}{3}\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow abc+\dfrac{1}{abc}+\dfrac{22}{3}=\dfrac{28}{3}\)

\(\Rightarrow abc+\dfrac{1}{abc}=2\)

\(\Rightarrow\left(abc\right)^2-2\left(abc\right)+1=0\)

\(\Rightarrow\left(abc-1\right)^2=0\)

\(\Rightarrow abc=1\)